Corrigé CCINP 2025 Physique-chimie PSI — Partie II (Q11 à Q24) : Acoustique d'une cloison : équation de d'Alembert, impédance, réflexion et transmission par une paroi mobile

Sujet officiel du concours CCINP, session 2025, épreuve Physique-chimie PSI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

II.1 Onde acoustique.

Air sans viscosité, pesanteur négligée ; au repos, pression $P_{0}$ et masse volumique $ρ_{0}$ ; $χ_{S}$ : compressibilité isentropique. Onde plane selon $(O x)$ : vitesse $v (x, t) e_{x}$ , pression $P_{0} + p (x, t)$ , masse volumique $ρ_{0} + μ (x, t)$ . Dérivée particulaire : $D v / D t = \partial v / \partial t + (v \cdot grad) v$ .

Q11. En quoi consiste l'approximation acoustique ?
Q12. Équation de la dynamique d'une particule d'air de volume $d V$ , projetée sur $e_{x}$ , puis linéarisée.
Q13. Conservation de la masse, puis linéarisation.
Q14. Avec $μ = ρ_{0} χ_{S} p$ , équation de d'Alembert pour $p$ ; célérité $c_{0}$ en fonction de $ρ_{0}$ et $χ_{S}$ .

II.2 Cloison.

Une onde plane progressive sinusoïdale de pulsation $ω$ arrive sous incidence normale sur une cloison rigide, non absorbante, d'épaisseur $e_{c} ≪ λ$ , de surface $S_{c}$ et de masse $M_{c}$ , centrée au repos en $x = 0$ (figure 4). Complexes soulignés ; $k$ : module du vecteur d'onde.

{Figure 4 — Onde sonore et cloison}

Onde incidente : $p_{i} (x, t)$ , $v_{i} (x, t)$ , amplitudes $p_{im}$ et $v_{im}$ , impédance $Z = p_{im} / v_{im}$ . Onde réfléchie : $p_{r}$ , $v_{r}$ , amplitude $p_{r m}$ . Onde transmise : $p_{t}$ , $v_{t}$ , amplitude $p_{t m}$ . Réflexion et transmission sans déphasage singulier. Déplacement de la cloison : $X_{c} (t) = X_{m} cos (ω t)$ , de complexe $X_{c} (t)$ .

Q15. $p_{i}$ et $v_{i}$ en fonction de $k$ , $ω$ , $Z$ , $p_{im}$ .
Q16. Avec $k = ω / c_{0}$ , exprimer $Z$ en fonction de $ρ_{0}$ et $c_{0}$ .
Q17. $p_{r}$ et $v_{r}$ en fonction de $k$ , $ω$ , $p_{r m}$ , $Z$ .
Q18. $p_{t}$ et $v_{t}$ en fonction de $k$ , $ω$ , $p_{t m}$ , $Z$ .
Q19. Relation entre $S_{c}$ , $M_{c}$ , $p_{im}$ , $p_{r m}$ , $p_{t m}$ , $X_{m}$ et $ω$ .
Q20. Par une première équation de continuité, relation entre $p_{im}$ , $p_{r m}$ , $p_{t m}$ .
Q21. Par une seconde, relation entre $p_{im}$ , $p_{r m}$ , $X_{m}$ , $Z$ , $ω$ .
Q22. Avec $ω_{0} = 2 S_{c} Z / M_{c}$ , coefficients $r = p_{r m} / p_{im}$ et $t = p_{t m} / p_{im}$ en fonction de $ω$ et $ω_{0}$ .
Q23. Diagrammes asymptotiques de $lo g ∣ r ∣$ et $lo g ∣ t ∣$ en fonction de $lo g (ω / ω_{0})$ .
Q24. $ω_{0}$ étant audible, la cloison transmet-elle surtout les graves ou les aigus ? L'écho est-il plus intense pour les graves ou les aigus ?

Corrigé

Q11. L'onde sonore est une petite perturbation de l'air au repos : on suppose

$∣ p ∣ ≪ P_{0}, ∣ μ ∣ ≪ ρ_{0}, ∣ v ∣ ≪ c_{0},$

et l'on traite $p$ , $μ$ , $v$ et leurs dérivées comme des infiniment petits du premier ordre : dans les équations, on néglige tout produit de deux de ces grandeurs (linéarisation). On suppose de plus l'évolution de chaque particule de fluide adiabatique et réversible (isentropique), ce qui justifie l'emploi de $χ_{S}$ .

Q12. Système : la particule d'air de volume $d V$ et de masse $ρ d V$ , dans le référentiel terrestre supposé galiléen. Forces : la résultante des forces de pression $- grad P d V$ (pesanteur et viscosité négligées). Le principe fondamental de la dynamique donne l'équation d'Euler :

$ρ d V \frac{D v}{D t} = - grad P d V ⟹ ρ (\frac{\partial v}{\partial t} + (v \cdot grad) v) = - grad P .$

Projection sur $e_{x}$ , avec $v = v (x, t) e_{x}$ et $P = P_{0} + p (x, t)$ , $P_{0}$ uniforme :

$(ρ_{0} + μ) (\frac{\partial v}{\partial t} + v \frac{\partial v}{\partial x}) = - \frac{\partial p}{\partial x} .$

Linéarisation : $μ \partial v / \partial t$ et $ρ_{0} v \partial v / \partial x$ sont du second ordre :

$ρ_{0} \frac{\partial v}{\partial t} = - \frac{\partial p}{\partial x}$

Ce que le correcteur attend : la dérivée particulaire $D v / D t$ dans le PFD (et non $\partial v / \partial t$ ), la distinction entre $P$ et $p$ .

Q13. Conservation locale de la masse : $\frac{\partial ρ}{\partial t} + div (ρ v) = 0$ , soit, en une dimension,

$\frac{\partial μ}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial x} [(ρ_{0} + μ) v] = 0.$

Le terme $μv$ est du second ordre :

$\frac{\partial μ}{\partial t} + ρ_{0} \frac{\partial v}{\partial x} = 0$

Q14. Avec $μ = ρ_{0} χ_{S} p$ , Q13 devient $χ_{S} \frac{\partial p}{\partial t} = - \frac{\partial v}{\partial x}$ . On dérive cette relation par rapport à $t$ , et celle de Q12 par rapport à $x$ :

$χ_{S} \frac{\partial ^{2} p}{\partial t ^{2}} = - \frac{\partial ^{2} v}{\partial t \partial x}, ρ_{0} \frac{\partial ^{2} v}{\partial x \partial t} = - \frac{\partial ^{2} p}{\partial x ^{2}} .$

Les dérivées croisées de $v$ étant égales (théorème de Schwarz), on élimine $v$ :

$\frac{\partial ^{2} p}{\partial x ^{2}} - \frac{1}{c _{0}^{2}} \frac{\partial ^{2} p}{\partial t ^{2}} = 0 avec c_{0} = \frac{1}{ρ _{0} χ _{S}}$

Homogénéité : $ρ_{0} χ_{S}$ s'exprime en $kg \cdot m^{- 3} \cdot P a^{- 1} = s^{2} \cdot m^{- 2}$ . Ordre de grandeur pour l'air ( $χ_{S} = 1/ (γ P_{0}) \approx 7 \times 1 0^{- 6} P a^{- 1}$ , $ρ_{0} \approx 1, 2 kg \cdot m^{- 3}$ ) : $c_{0} \approx 340 m \cdot s^{- 1}$ .

Q15. L'onde incidente progresse vers les $x$ croissants :

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