Corrigé CCINP 2025 Physique MP — Partie I (Q1 à Q13) : Satellite altimétrique : force centrale, énergie potentielle effective, transfert de Hohmann

Sujet officiel du concours CCINP, session 2025, épreuve Physique MP. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

La Terre, de centre $O$ , de rayon $R_{T}$ et de masse $M_{T}$ , a une répartition de masse à symétrie sphérique. Un mobile $M$ de masse $m$ , soumis à la seule action de la Terre, est étudié dans le référentiel géocentrique $(R_{T})$ , supposé galiléen. On pose $L_{O} = L_{0} e_{z}$ et l'on repère $M$ par ses coordonnées polaires $(r, θ)$ dans le plan $(O, e_{x}, e_{y})$ (figure 3). L'orbite altimétrique de référence est circulaire, de rayon $R$ ; l'orbite « cimetière » est circulaire, de rayon $R_{c} < R$ ; l'orbite de transfert de Hohmann est une ellipse de foyer $O$ , d'apogée $A$ sur l'orbite de rayon $R$ et de périgée $P$ sur l'orbite de rayon $R_{c}$ (figure 4). Les poussées des moteurs sont instantanées.

{Figure 3 — Coordonnées polaires du mobile}

{Figure 4 — Orbites du satellite (sans souci d'échelle)}

Q1. Définir le référentiel géocentrique et un référentiel galiléen.
Q2. Direction et invariances du champ de gravitation $G (M)$ ; son expression pour $r = O M > R_{T}$ ; force $F_{g}$ sur le mobile.
Q3. Montrer que $L_{O}$ est constant ; en déduire que la trajectoire est plane.
Q4. Montrer que $F_{g}$ dérive d'une énergie potentielle $E_{p}$ , nulle à l'infini.
Q5. Montrer que $E_{m}$ se conserve et s'écrit $E_{m} = \frac{1}{2} m r ˙^{2} + E_{p, eff} (r)$ (équation 1) ; exprimer $E_{p, eff}$ .
Q6. Pourquoi $E_{m} \geq E_{p, eff}$ ?
Q7. Tracer $E_{p, eff} (r)$ et placer l'énergie d'un état lié.
Q8. Positions où $E_{m} = E_{p, eff}$ ; mouvement lorsque $E_{m}$ égale le minimum de $E_{p, eff}$ .
Q9. Énergie mécanique $E_{m, alt}$ sur l'orbite altimétrique.
Q10. Établir la troisième loi de Kepler pour cette orbite circulaire.
Q11. À l'aide de l'équation 1, montrer que $E_{m, tr} = - G M_{T} m / (R + R_{c})$ .
Q12. Exprimer $Δ E_{m} = E_{m, tr} - E_{m, alt}$ et commenter son signe.
Q13. Faut-il accélérer ou freiner en $P$ pour passer sur l'orbite cimetière ?

Corrigé

Q1. Le référentiel géocentrique a pour origine le centre $O$ de la Terre et ses axes pointent vers trois étoiles lointaines considérées comme fixes (axes parallèles à ceux du référentiel héliocentrique de Copernic) : il est en translation, quasi circulaire, par rapport au référentiel héliocentrique, et ne tourne pas avec la Terre.

Un référentiel galiléen est un référentiel dans lequel le principe d'inertie est vérifié : tout point matériel isolé (ou pseudo-isolé) y est au repos ou en mouvement rectiligne uniforme. Tout référentiel en translation rectiligne uniforme par rapport à un référentiel galiléen est galiléen. Le référentiel géocentrique peut être considéré comme galiléen sur des durées très courtes devant l'année (sa translation autour du Soleil n'est pas rectiligne), ce qui est le cas pour l'étude d'un satellite dont la période est de l'ordre de l'heure.

Q2. Symétries. Tout plan contenant $O$ et $M$ est un plan de symétrie de la distribution de masse. Le champ de gravitation, vecteur polaire comme le champ électrostatique, appartient à chacun de ces plans, donc à leur intersection, la droite $(O M)$ : $G (M) = G (r) u$ .

Invariances. La distribution est invariante par toute rotation autour de $O$ : en coordonnées sphériques $(r, θ, φ)$ de centre $O$ , la norme du champ ne dépend que de $r$ .

Théorème de Gauss gravitationnel (analogue de celui de l'électrostatique, avec $1/ (4 π ε_{0}) \to - G$ ) sur la sphère de centre $O$ et de rayon $r > R_{T}$ , orientée vers l'extérieur, qui contient toute la masse $M_{T}$ :

$\oint \oint G \cdot d S = 4 π r^{2} G (r) = - 4 π G M_{T} ⟹ G (M) = - \frac{G M _{T}}{r ^{2}} u .$

La force exercée par la Terre sur le mobile est donc

$F_{g} = m G (M) = - \frac{G M _{T} m}{r ^{2}} u,$

celle qu'exercerait un point matériel de masse $M_{T}$ placé en $O$ : force attractive, centrale, en $1/ r^{2}$ .

Q3. Système : le mobile $M$ ; référentiel géocentrique, galiléen ; $O$ est fixe dans ce référentiel. Le théorème du moment cinétique en $O$ s'écrit

$\frac{d L _{O}}{d t} = O M \land F_{g} = r u \land (- \frac{G M _{T} m}{r ^{2}} u) = 0,$

car la force est centrale (colinéaire à $O M$ ). Le moment cinétique $L_{O} = O M \land m v$ est donc une constante du mouvement.

Par définition du produit vectoriel, $O M$ est à tout instant orthogonal au vecteur constant $L_{O}$ (s'il est non nul) : $M$ reste dans le plan passant par $O$ et perpendiculaire à $L_{O}$ . La trajectoire est plane. (Si $L_{O} = 0$ , $v$ reste colinéaire à $O M$ : le mouvement est rectiligne sur une droite passant par $O$ , a fortiori plan.)

Q4. Le travail élémentaire de $F_{g}$ lors d'un déplacement $d O M = d r u + r d θ e_{θ}$ vaut

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