Corrigé CCINP 2025 Physique MP — Partie II.1 (Q14 à Q19) : Radar à impulsions : filtre adapté, résolution et compression d'impulsion

Sujet officiel du concours CCINP, session 2025, épreuve Physique MP. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

L'altimètre mesure la distance $d$ satellite--océan ; $h_{oc e ˊ an} = h - d$ (équation 2, figure 5), $h$ étant connue par GPS. Les ondes se propagent à la vitesse $c$ .

{Figure 5b — Principe de la mesure}

Impulsion émise (figure 6) : $e (t) = A (t) cos (2 π f_{0} t)$ avec $A (t) = A_{0}$ pour $∣ t ∣ \leq τ /2$ et $A (t) = 0$ sinon (équation 3), $1/ f_{0} ≪ τ$ . Signal reçu (écho retardé de la durée $t_{R}$ de l'aller-retour) : $u (t) = α e (t - t_{R})$ , $α$ réel. Le filtre adapté (figure 7) délivre $s (t) = \int_{- \infty}^{\infty} e^{*} (ξ - t) u (ξ) d ξ$ .

{Figure 6 — Sinusoïde tronquée (échelle de temps non respectée)}

{Figure 7 — Architecture simplifiée de l'altimètre}

On admet, après Q15, que $s (t) = α A_{0}^{2} e^{2 i π f_{0} (t - t_{R})} Λ (t - t_{R})$ , avec $Λ (t) = t + τ$ sur $[- τ, 0]$ , $Λ (t) = τ - t$ sur $[0, τ]$ , $Λ (t) = 0$ sinon. Un second écho ( $t_{R}^{'} > t_{R}$ ) vient d'une surface à la distance $d^{'} > d$ ; deux échos sont distincts si les maxima de leurs enveloppes sont séparés d'au moins $τ$ .

Compression d'impulsion : pour $e = A cos Ψ (t)$ , $f_{e} = \frac{1}{2 π} \frac{d Ψ}{d t}$ . Le radar émet (figure 8) $e (t) = A (t) cos (2 π (f_{0} t + \frac{K}{2} t^{2}))$ (équation 4). On admet alors $s (t) = α A_{0}^{2} τ e^{2 i π f_{c} (t - t_{R})} sinc (π K τ (t - t_{R}))$ , $sinc x = sin x / x$ . Nouveau critère : les maxima des deux échos doivent être séparés d'au moins la durée entre le maximum et la première annulation du premier écho.

{Figure 8 — Signal modulé en fréquence et fréquence instantanée}

Q14. Montrer que $s (t) = α e^{2 i π f_{0} (t - t_{R})} \int_{- \infty}^{+ \infty} A (ξ - t) A (ξ - t_{R}) d ξ$ .
Q15. Tracer $A (ξ - t)$ et $A (ξ - t_{R})$ pour $t_{R} - τ \leq t \leq t_{R}$ ; en déduire $s (t)$ .
Q16. Représenter $s (t)$ et $s^{'} (t)$ (signaux réels des deux échos) et les maxima des enveloppes.
Q17. Jason : $τ ≃ 1, 10 \times 1 0^{- 4} s$ . Calculer $Δ d_{m i n}$ et commenter.
Q18. Montrer que $f_{e}$ varie linéairement ; exprimer $f_{c}$ (fréquence centrale) et $B$ (largeur de bande).
Q19. Exprimer $Δ d_{m i n}$ en fonction de $c$ et $B$ ; application $B = 320 MHz$ ; commenter.

Corrigé

Q14. L'enveloppe $A (t)$ est réelle et lentement variable ( $τ ≫ 1/ f_{0}$ ) : on associe à $e (t) = A (t) cos (2 π f_{0} t)$ la grandeur complexe $e (t) = A (t) e^{2 i π f_{0} t}$ , dont la partie réelle est $e (t)$ . Alors

$u (ξ) = α e (ξ - t_{R}) = α A (ξ - t_{R}) e^{2 i π f_{0} (ξ - t_{R})}, e^{*} (ξ - t) = A (ξ - t) e^{- 2 i π f_{0} (ξ - t)},$

( $A$ et $α$ sont réels). Dans le produit, les termes en $ξ$ des exponentielles se compensent :

$e^{*} (ξ - t) u (ξ) = α A (ξ - t) A (ξ - t_{R}) e^{2 i π f_{0} (ξ - t_{R} - ξ + t)} = α e^{2 i π f_{0} (t - t_{R})} A (ξ - t) A (ξ - t_{R}) .$

Le facteur exponentiel ne dépend pas de la variable d'intégration $ξ$ et sort de l'intégrale :

$s (t) = α e^{2 i π f_{0} (t - t_{R})} \int_{- \infty}^{+ \infty} A (ξ - t) A (ξ - t_{R}) d ξ .$

Q15. En fonction de $ξ$ , $A (ξ - t)$ est un créneau de hauteur $A_{0}$ sur $[t - τ /2, t + τ /2]$ , centré en $t$ , et $A (ξ - t_{R})$ un créneau de même hauteur sur $[t_{R} - τ /2, t_{R} + τ /2]$ , centré en $t_{R}$ . Pour $t_{R} - τ \leq t \leq t_{R}$ , le premier créneau est en avance d'au plus $τ$ sur le second : ils se recouvrent sur $[t_{R} - τ /2, t + τ /2]$ (zone grisée).

{ Les deux créneaux pour $t_{R} - τ \leq t \leq t_{R}$ : trait plein $A (ξ - t)$ , tirets $A (ξ - t_{R})$ }

Le produit vaut $A_{0}^{2}$ sur l'intervalle commun, de longueur $(t + τ /2) - (t_{R} - τ /2) = t - t_{R} + τ \geq 0$ , et $0$ ailleurs :

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