Corrigé CCINP 2025 Physique MP — Partie II.2 (Q20 à Q29) : Onde dans le plasma ionosphérique : conductivité, dispersion, onde évanescente

Q20. La phase $\omega t-k(z-z_0)$ ne dépend de l'espace que par $z$ : si la partie réelle de $k$ est non nulle (positive), l'onde se propage selon l'axe $Oz$, dans le sens des $z$ croissants, c'est-à-dire vers le bas, du satellite vers l'océan. Si $k$ était imaginaire pur, il n'y aurait pas de propagation (d'où le mot « éventuelle »). Le champ électrique garde la direction fixe ${\overrightarrow{e}}_x$ : la polarisation est rectiligne selon ${\overrightarrow{e}}_x$, orthogonale à la direction de propagation.

Ce que le correcteur attend : ne pas confondre la direction de polarisation (${\overrightarrow{e}}_x$, celle de $\overrightarrow{E}$) et la direction de propagation (${\overrightarrow{e}}_z$).

Q21. Pour une particule de charge $q$ et de vitesse $\overrightarrow{v}$, la force de Lorentz est $q(\overrightarrow{E}+\overrightarrow{v}\wedge \overrightarrow{B})$. Le rapport des normes des deux termes est au plus

$$\frac{\Vert q\overrightarrow{v}\wedge \overrightarrow{B}\Vert }{\Vert q\overrightarrow{E}\Vert }\le \frac{vB}{E}\sim \frac{v}{c},$$

puisque, comme dans le vide, $B/E\sim 1/c$. La force magnétique est négligeable si

$$\boxed{v\ll c:}$$

les particules du plasma doivent rester non relativistes, ce qui est le cas pour les champs modérés d'un radar.

Q22. Système : un électron ; référentiel terrestre supposé galiléen. Il ne subit que la force électrique $-e\overrightarrow{E}$ (Q21 ; le poids est négligeable, il n'y a ni collisions ni agitation thermique). On admet de plus que l'amplitude de son mouvement est très petite devant la longueur caractéristique de variation spatiale du champ, si bien qu'il voit le champ $\overrightarrow{E}(M,t)$ en sa position moyenne $M$. Le principe fondamental de la dynamique s'écrit $m_e\mathrm{d}{\overrightarrow{v}}_e/\mathrm{d}t=-e\overrightarrow{E}(M,t)$ ; en régime sinusoïdal forcé, la dérivation temporelle devient la multiplication par $\mathrm{i}\omega$ :

$$\mathrm{i}\omega m_e\underline{{\overrightarrow{v}}_e}=-e\underline{\overrightarrow{E}}⟹\boxed{\underline{{\overrightarrow{v}}_e}=-\frac{e}{\mathrm{i}\omega m_e}\underline{\overrightarrow{E}}(M,t)=\mathrm{i}\frac{e}{m_e\omega }\underline{\overrightarrow{E}}(M,t).}$$

De même pour un cation, de charge $+e$ :

$$\boxed{\underline{{\overrightarrow{v}}_c}=\frac{e}{\mathrm{i}\omega m_c}\underline{\overrightarrow{E}}(M,t)=-\mathrm{i}\frac{e}{m_c\omega }\underline{\overrightarrow{E}}(M,t).}$$

Les vitesses sont en quadrature avec le champ : les particules ne font qu'osciller, sans recevoir d'énergie en moyenne.

Q23. La densité volumique de courant est la somme des contributions des deux populations :

$$\underline{\overrightarrow{j}}=n(-e)\underline{{\overrightarrow{v}}_e}+n(+e)\underline{{\overrightarrow{v}}_c}=-\mathrm{i}\frac{n{e}^2}{\omega }(\frac{1}{m_e}+\frac{1}{m_c})\underline{\overrightarrow{E}}.$$

C'est une loi d'Ohm complexe $\underline{\overrightarrow{j}}=\underline{\gamma }\underline{\overrightarrow{E}}$. Comme $m_c\gg m_e$ (au moins $1800$ fois plus lourds), la contribution des cations est négligeable : ils sont trop lourds pour suivre le champ.