Corrigé CCINP 2025 Physique MP — Partie II.2 (suite) (Q30 à Q35) : Coupure ionosphérique, vitesse de groupe et correction bifréquence

On reprend le plasma de Q20 à Q29 : électrons de densité $n$, pulsation plasma ${\omega }_p=\sqrt{n{e}^2/({\epsilon }_0{m}_e)}$, relation de dispersion $k^2=({\omega }^2-{\omega }_p^2)/c^2$ (équation 5). Le profil réel $n(\text{altitude})$, de jour et de nuit, est donné figure 9. Les satellites Jason émettent dans une bande centrée sur $f_0={\omega }_0/(2\pi )\simeq 13,6\mathrm{GHz}$, de largeur $B=320\mathrm{MHz}$, et utilisent en parallèle une seconde impulsion de fréquence centrale $f_1={\omega }_1/(2\pi )\simeq 5,3\mathrm{GHz}$. À partir de Q33, l'ionosphère est une couche d'épaisseur $\ell =500\mathrm{km}$ de densité électronique uniforme $n=5\times 10^{11}{\mathrm{m}}^{-3}$ ; le reste de l'atmosphère est assimilé au vide. Données : $e=1,6\times 10^{-19}\mathrm{C}$, $m_e=9,1\times 10^{-31}\mathrm{kg}$, ${\epsilon }_0=8,9\times 10^{-12}\mathrm{F}\cdot {\mathrm{m}}^{-1}$, $c=3,0\times 10^8\mathrm{m}\cdot {\mathrm{s}}^{-1}$ ; au premier ordre, $(1+x{)}^{\alpha }\simeq 1+\alpha x$.

{Figure 9 — Densité électronique $n$ de l'ionosphère en fonction de l'altitude (échelles logarithmiques)}

Q30. En déduire le domaine de fréquences permettant d'atteindre l'océan ; commenter le choix de Jason.
Q31. Vitesses de phase $v_{\phi }$ et de groupe $v_g$ en fonction de $\omega$, ${\omega }_p$, $c$ ; tracer $v_{\phi }/c$ et $v_g/c$.
Q32. L'ionosphère est-elle dispersive ?
Q33. Les deux impulsions, émises à $t=0$, reviennent aux instants $t_0$ et $t_1$. Expression approchée de $\Delta t=t_1-t_0$ en fonction de $\ell$, $c$, ${\omega }_p$, ${\omega }_0$, ${\omega }_1$.
Q34. Montrer que $d\simeq c{t}_0/2-\epsilon$ ; exprimer la correction ionosphérique $\epsilon$ en fonction de $c$, $\Delta t$, ${\omega }_0$, ${\omega }_1$.
Q35. Erreur commise avec l'impulsion $f_0$ en prenant $v_g=c$, en fonction de $\ell$, $n$, $e$, ${\epsilon }_0$, $m_e$, ${\omega }_0$ ; application numérique ; commenter.