Corrigé CCINP 2025 Physique MP — Partie III.1 (Q36 à Q40) : Voile solaire : réflexion sur un conducteur parfait et pression de radiation

Une voile solaire carrée, de surface $S=a^2$, est un conducteur parfait : les champs $\overrightarrow{E}$ et $\overrightarrow{B}$ d'une onde y sont nuls. Le rayonnement solaire est une OPPH de pulsation $\omega$, polarisée selon ${\overrightarrow{e}}_z$, se propageant selon ${\overrightarrow{e}}_x$ depuis les $x<0$ :

$$\underline{{\overrightarrow{E}}_i}(M,t)=E_0{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}(\omega t-kx)}{\overrightarrow{e}}_z,k=\omega /c,E_0\text{ reˊel}.$$

Dans le référentiel lié à la voile, celle-ci occupe le plan $x=0$, sous incidence normale (figure 11). Relations de passage du milieu 1 vers le milieu 2 (normale ${\overrightarrow{n}}_{12}$) : ${\overrightarrow{E}}_2-{\overrightarrow{E}}_1=\frac{\sigma }{{\epsilon }_0}{\overrightarrow{n}}_{12}$ et ${\overrightarrow{B}}_2-{\overrightarrow{B}}_1={\mu }_0\overrightarrow{j_s}\wedge {\overrightarrow{n}}_{12}$.

{Figure 11 — Onde incidente sous incidence normale}

Q36. L'onde réfléchie, de même pulsation, est cherchée sous la forme $\underline{{\overrightarrow{E}}_r}=\underline{E_{0y}^{\prime }}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}(\omega t+kx)}{\overrightarrow{e}}_y+\underline{E_{0z}^{\prime }}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}(\omega t+kx)}{\overrightarrow{e}}_z$. Simplifier son expression grâce à la relation de passage sur $\overrightarrow{E}$.
Q37. Champ magnétique complexe total en $x=0^{-}$ ; densité surfacique de courant réelle $\overrightarrow{j_s}(t)$.

On admet que la force exercée par l'onde sur la voile est la force de Laplace exercée sur les courants surfaciques par la moitié du champ magnétique total en $x=0^{-}$. On pose $\overrightarrow{j_s}=j_s{\overrightarrow{e}}_z$ ; un élément rectiligne de la voile, de longueur $a$ et de largeur $\mathrm{d}y$, est parcouru par l'intensité $\delta i=j_s\mathrm{d}y$ orientée vers les $z>0$ (figure 12).

{Figure 12 — Élément de voile parcouru par l'intensité $\delta i$}

Q38. Force $\overrightarrow{\delta F_L}$ sur cet élément en fonction de $a$, $\mathrm{d}y$, $\overrightarrow{j_s}(t)$ et du champ incident ${\overrightarrow{B}}_i(x=0,t)$ ; force totale ${\overrightarrow{F}}_L$ sur la voile.
Q39. Force surfacique moyenne : montrer que $⟨\overrightarrow{f}⟩=P_m{\overrightarrow{e}}_x$ et exprimer la pression de radiation $P_m$ en fonction de l'intensité $I$ (puissance surfacique moyenne transportée) et de $c$.
Q40. Ordre de grandeur de $S$ pour donner à un vaisseau de $m=2000\mathrm{kg}$ une accélération voisine de $g/1000$ ($g=9,8\mathrm{m}\cdot {\mathrm{s}}^{-2}$), avec $I\simeq 1000\mathrm{W}\cdot {\mathrm{m}}^{-2}$ ; commenter.

Pour une voile inclinée, de normale $\overrightarrow{n}$ faisant l'angle $\phi$ avec $Ox$ (figure 13), on admet $⟨\overrightarrow{f}⟩=P_m{\cos }^2(\phi )\overrightarrow{n}$ (équation 6).

{Figure 13 — Réflexion sur la voile inclinée d'un angle $\phi$}