Corrigé CCINP 2025 Physique MP — Partie III.2 (Q41 à Q45) : Vaisseau à voile solaire : équations du mouvement et puissance de la poussée

Un vaisseau, assimilé à un point matériel $M$ de masse $m$, décrit initialement une orbite circulaire autour de la Terre (masse $M_T$, rayon $R_T$, répartition de masse à symétrie sphérique), dans le plan de l'écliptique où reste toute la trajectoire. On le repère par ses coordonnées polaires $r=OM$ et $\theta$, angle entre l'axe $Ox$ (direction du rayonnement solaire) et ${\overrightarrow{e}}_r$ (figure 14). Le référentiel géocentrique est galiléen pour cette étude de quelques jours. La voile subit la force de pression de radiation (sous-partie III.1)

$${\overrightarrow{F}}_p=L(r,\theta )⟨\overrightarrow{f}⟩S=L(r,\theta )P_{m}S{\cos }^2(\phi )\overrightarrow{n},$$

avec $L=0$ si $M$ est dans l'ombre de la Terre et $L=1$ sinon ; $\phi \in [-\pi /2,\pi /2]$ est l'angle de $Ox$ vers la normale $\overrightarrow{n}$, $\alpha$ l'angle de ${\overrightarrow{e}}_r$ vers $\overrightarrow{n}$, et $(\overrightarrow{n},\overrightarrow{t},{\overrightarrow{e}}_z)$ est direct. On note $\overrightarrow{v}=v_r{\overrightarrow{e}}_r+v_{\theta }{\overrightarrow{e}}_{\theta }$.

{Figure 14 — Orientation de la voile : angle $\alpha$ entre $\overrightarrow{n}$ et ${\overrightarrow{e}}_r$, angle $\phi$ entre $Ox$ et $\overrightarrow{n}$}

Q41. Vecteurs position, vitesse et accélération de $M$ en coordonnées polaires.
Q42. Composantes $F_r$ et $F_{\theta }$ de la résultante des forces en fonction de $G$, $M_T$, $m$, $L(r,\theta )$, $r$, $\theta$, $P_m$, $S$, $\phi$.
Q43. Montrer que ${\dot{v}}_r=\frac{F_r}{m}+\frac{v_{\theta }^2}{r}$ et ${\dot{v}}_{\theta }=\frac{F_{\theta }}{m}-\frac{v_r{v}_{\theta }}{r}$.
Q44. Énergie mécanique ${\mathcal{E}}_m$ en fonction de $G$, $M_T$, $m$, $r$, $v_r$, $v_{\theta }$.
Q45. Montrer que $\frac{\mathrm{d}{\mathcal{E}}_m}{\mathrm{d}t}=K_{m}L(r,\theta ){\cos }^2(\phi )(v_r\cos (\phi -\theta )+v_{\theta }\sin (\phi -\theta ))$ et exprimer $K_m$ en fonction de $P_m$ et $S$.