Corrigé CCINP 2025 Physique PC — Partie I.1 (Q1 à Q6) : Effet Seebeck : loi d'Ohm, loi de Fourier, interprétation microscopique

Sujet officiel du concours CCINP, session 2025, épreuve Physique PC. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Un matériau conducteur homogène et isotrope occupe un cylindre droit d'axe $(O, u_{x})$ , de section $S$ et de longueur $L$ (figure 1). En régime stationnaire, ses faces $x = 0$ et $x = L$ sont aux potentiels $V_{1} > V_{2}$ ; il est parcouru par la densité de courant uniforme $j_{e ˊ l} = j_{e ˊ l} u_{x}$ ; conductivité électrique $σ$ .

Figure 1 — Conducteur soumis à une différence de potentiel.

Q1. Rappeler la loi d'Ohm locale ; sens de $E$ dans le conducteur ; établir $R_{e ˊ l} = L / (σ S)$ .

Le matériau a aussi une conductivité thermique $λ$ ; ses faces sont maintenues aux températures $T_{1} > T_{2}$ et il est traversé, en régime stationnaire, par la densité de flux thermique uniforme $j_{th} = j_{th} u_{x}$ .

Q2. Rappeler la loi de Fourier ; par analogie avec Q1, résistance thermique $R_{th}$ du cylindre.

Effet Seebeck : soumis au seul gradient de température, le matériau est le siège, en régime stationnaire, du champ $E = α grad T$ ( $α$ : coefficient Seebeck). Dans tout le sujet, $σ$ , $λ$ et $α$ sont indépendants de $T$ .

Q3. Exprimer la f.é.m. $e = V (x = 0) - V (x = L) = V_{1} - V_{2}$ en fonction de $α$ et de $T_{1} - T_{2}$ .

Le matériau est désormais un métal ; ses électrons libres forment un « gaz ».

Q4. Deux compartiments fictifs $A$ et $B$ , de températures $T_{A} > T_{B}$ : où la vitesse moyenne des électrons est-elle la plus grande ? Partant de densités égales, comment évoluent-elles ? Transposer à une température variant continûment.
Q5. Sens du champ électrique dû à l'inhomogénéité de densité ; signe de $α$ prévu par cette analyse.
Q6. On mesure $α_{Cu} = + 1, 2 μ V \cdot K^{- 1}$ et $α_{Al} = - 2, 2 μ V \cdot K^{- 1}$ . L'analyse de Q5 est-elle conforme à l'expérience ?

Corrigé

Q1. Loi d'Ohm locale. Dans un conducteur ohmique homogène et isotrope, en régime stationnaire,

$j_{e ˊ l} = σ E .$

Sens du champ. En régime stationnaire, le champ électrique dérive du potentiel : $E = - grad V$ . Par symétrie du problème (courant uniforme selon $u_{x}$ ), $V$ ne dépend que de $x$ et $E = - \frac{d V}{d x} u_{x}$ . Le potentiel passe de $V_{1}$ en $x = 0$ à $V_{2} < V_{1}$ en $x = L$ : il décroît en moyenne le long de $u_{x}$ , donc $E$ est dirigé selon $+ u_{x}$ , des potentiels élevés vers les potentiels faibles (et $j_{e ˊ l} = σ E$ a bien le même sens, $j_{e ˊ l} > 0$ ).

Résistance. Le courant est uniforme sur la section : l'intensité qui traverse une section orientée par $u_{x}$ vaut $I = j_{e ˊ l} S$ . La loi d'Ohm locale donne alors un champ uniforme $E = \frac{I}{σ S} u_{x}$ . La tension $U = V_{1} - V_{2}$ (convention récepteur : $I$ entre par la face au potentiel $V_{1}$ ) est la circulation du champ de $x = 0$ à $x = L$ :

$U = V_{1} - V_{2} = - \int_{0}^{L} \frac{d V}{d x} d x = \int_{0}^{L} E d x = \frac{L}{σ S} I .$

Par identification avec la loi d'Ohm intégrale $U = R_{e ˊ l} I$ :

$R_{e ˊ l} = \frac{L}{σ S} .$

Homogénéité : $σ$ en $S \cdot m^{- 1}$ , donc $L / (σ S)$ en $m / (S \cdot m^{- 1} \cdot m^{2}) = S^{- 1} = Ω$ .

Q2. Loi de Fourier. Dans un milieu homogène et isotrope, la conduction thermique obéit à

$j_{th} = - λ grad T,$

le flux thermique allant des régions chaudes vers les régions froides ( $λ > 0$ ).

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