Corrigé CCINP 2025 Physique PC — Partie I.2 (Q7 à Q12) : Expérience de Seebeck : f.é.m., courant, champ de deux fils et aiguille aimantée

Sujet officiel du concours CCINP, session 2025, épreuve Physique PC. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Le dispositif de Seebeck (1821 ; figure 2.a, gravure : cadre métallique, aiguille aimantée en son centre, lampe chauffant une extrémité) est modélisé par le cadre $C D D^{'} C^{'}$ (figure 2.b). $C^{'} C$ est en bismuth : $α_{Bi} = - 72, 0 μ V \cdot K^{- 1}$ , $σ_{Bi} = 8, 7 \times 1 0^{5} S \cdot m^{- 1}$ ; le reste en cuivre : $α_{Cu} = + 1, 2 μ V \cdot K^{- 1}$ , $σ_{Cu} = 6, 0 \times 1 0^{7} S \cdot m^{- 1}$ . $L ≫ d$ . $C^{'} D^{'}$ est à $T_{0}$ , $C D$ à $T > T_{0}$ .

Figure 2.b — Modélisation du dispositif de Seebeck.

Q7. En circuit ouvert, exprimer $e_{Bi} = V_{C} - V_{C^{'}}$ et $e_{Cu} = V_{D} - V_{D^{'}}$ en fonction de $α_{Bi}$ , $α_{Cu}$ et $T - T_{0}$ (Q3).

En circuit fermé, schéma équivalent de la figure 3, avec les résistances $R_{e ˊ l, Bi}$ et $R_{e ˊ l, Cu}$ (Q1).

Figure 3 — Schéma électrique équivalent du cadre.

Q8. Sens du courant d'intensité $I > 0$ dans le cadre.
Q9. $C^{'} C$ est une tige de longueur $L = 40 cm$ et de section $S = 10 c m^{2}$ . En négligeant $R_{e ˊ l, Cu}$ devant $R_{e ˊ l, Bi}$ , calculer $I$ pour $T - T_{0} = 40 K$ .

Le cadre est dans le plan vertical $(O, u_{y}, u_{z})$ , $u_{y}$ vers le haut ; $C^{'} C$ et $D^{'} D$ deviennent deux fils infinis parallèles à $(O, u_{z})$ , parcourus par $I$ en sens opposés (figure 4), dans le vide ( $μ_{0} = 1, 3 \times 1 0^{- 6} H \cdot m^{- 1}$ ).

Figure 4 — Modélisation du cadre pour le calcul du champ magnétique.

Q10. En coordonnées cylindriques $(r, θ, z)$ , champ $B_{f, Bi} (M)$ créé par le fil en bismuth confondu avec $(O, u_{z})$ .
Q11. Champ total $B_{f} (M)$ des deux fils en un point $M$ du plan $(O, u_{y}, u_{z})$ à égale distance $d /2$ des deux fils.

Sans courant, une aiguille aimantée au centre du cadre, mobile autour d'un axe vertical, s'oriente dans le plan du cadre, selon $B_{T, h} = B_{T, h} u_{z}$ (champ terrestre horizontal). Avec courant, elle tourne de $β < π /2$ dans le plan horizontal $(M, u_{x}, u_{z})$ .

Q12. Exprimer $β$ en fonction de $B_{f}$ et $B_{T, h}$ ; le calculer pour $B_{T, h} = 2 \times 1 0^{- 5} T$ , $d = 5 cm$ et $I = 6 A$ .

Corrigé

Q7. En circuit ouvert, aucun courant ne circule et la relation de Q3 s'applique à chaque portion : pour une portion dont une extrémité est à $T_{1}$ et l'autre à $T_{2}$ , $V (T_{1}) - V (T_{2}) = - α (T_{1} - T_{2})$ . Dans le bismuth, $C$ est à $T$ et $C^{'}$ à $T_{0}$ ; dans le cuivre, $D$ est à $T$ et $D^{'}$ à $T_{0}$ (les petites portions $C D$ et $C^{'} D^{'}$ sont isothermes et ne créent pas de f.é.m.). D'où

$e_{Bi} = V_{C} - V_{C^{'}} = - α_{Bi} (T - T_{0}), e_{Cu} = V_{D} - V_{D^{'}} = - α_{Cu} (T - T_{0}) .$

Numériquement, $e_{Bi} = + 72, 0 μ V \cdot K^{- 1} \times (T - T_{0}) > 0$ et $e_{Cu} = - 1, 2 μ V \cdot K^{- 1} \times (T - T_{0}) < 0$ .

Q8. Sur la figure 3, les deux générateurs sont fléchés vers la droite : $e_{Bi}$ tend à faire circuler le courant de $C^{'}$ vers $C$ , $e_{Cu}$ de $D^{'}$ vers $D$ . Parcourons la maille dans le sens $C^{'} \to C \to D \to D^{'} \to C^{'}$ : la portion en cuivre est alors parcourue de $D$ vers $D^{'}$ , à contre-sens de la flèche de $e_{Cu}$ . La loi des mailles donne

$e_{Bi} - e_{Cu} = (R_{e ˊ l, Bi} + R_{e ˊ l, Cu}) I, e_{Bi} - e_{Cu} = (α_{Cu} - α_{Bi}) (T - T_{0}) > 0.$

Le courant $I > 0$ circule donc dans le bismuth de $C^{'}$ vers $C$ (de la jonction froide vers la jonction chaude), puis dans le cuivre de $D$ vers $D^{'}$ : c'est le sens indiqué sur la figure 4 ( $+ u_{z}$ dans le bismuth, $- u_{z}$ dans le cuivre). Les deux f.é.m. s'ajoutent en valeur absolue car $α_{Bi}$ et $α_{Cu}$ sont de signes opposés.

Q9. D'après Q1, $R_{e ˊ l, Bi} = \frac{L}{σ _{Bi} S} = \frac{0 , 40}{8 , 7 \times 1 0 ^{5} \times 10 \times 1 0 ^{- 4}} Ω = 4, 6 \times 1 0^{- 4} Ω$ . On néglige la résistance du cuivre, mais pas sa f.é.m. :

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