Corrigé CCINP 2025 Physique PC — Partie II (Q13 à Q19) : Générateur thermoélectrique : bilan ditherme, Carnot, profil de température dans une jambe

Un module élémentaire associe deux « jambes » semi-conductrices (SC), l'une dopée $p$ (porteurs majoritaires : trous de charge $+e$, coefficient Seebeck ${\alpha }_p>0$), l'autre dopée $n$ (électrons de charge $-e$, ${\alpha }_n<0$), montées électriquement en série et thermiquement en parallèle (figure 5). Côté source chaude ($T_C$), elles sont reliées par une connexion métallique ; côté source froide ($T_F$), par une charge de résistance $R_c$. Plaques céramiques isolantes électriquement. Chaque jambe : cylindre d'axe $(O,{\overrightarrow{u}}_x)$, de longueur $L$, de section $S$, à surface latérale calorifugée.

Figure 5 — Schéma de principe d'un générateur thermoélectrique.

${\mathcal{P}}_C$ et ${\mathcal{P}}_F$ : puissances thermiques algébriques fournies au module par les sources chaude et froide ; ${\mathcal{P}}_{\text{eˊl}}$ : puissance électrique algébrique reçue par le module.

Q13. Signes de ${\mathcal{P}}_C$, ${\mathcal{P}}_F$, ${\mathcal{P}}_{\text{eˊl}}$ ; définir le rendement $\eta$.
Q14. En régime stationnaire, que valent $\mathrm{d}U$ et $\mathrm{d}S$ entre $t$ et $t+\mathrm{d}t$ ? Le module étant une phase condensée indilatable incompressible, montrer que $\eta \le {\eta }_{\mathrm{Carnot}}$, à exprimer ; condition pour l'atteindre.
Q15. Avec $I>0$ (figure 5), sens de déplacement des trous dans la jambe $p$ et des électrons dans la jambe $n$. Deux jambes de même dopage conviendraient-elles ?

On étudie la jambe $p$ (conductivités ${\sigma }_p$, ${\lambda }_p$), parcourue par ${\overrightarrow{j}}_{\text{eˊl}}=j_{\text{eˊl}}{\overrightarrow{u}}_x$ uniforme ; $T=T(x)$, $T(0)=T_C$, $T(L)=T_F$ (résistances de contact négligées).

Q16. Exprimer ${\overrightarrow{j}}_{\text{eˊl}}$ en fonction de $I$.
Q17. Le champ cède aux porteurs la puissance volumique $p_v={\overrightarrow{j}}_{\text{eˊl}}\cdot \overrightarrow{E}$. Par un bilan thermique stationnaire sur la tranche $[x,x+\mathrm{d}x]$, établir l'équation vérifiée par $j_{\text{th}}$.

On admet les lois d'Ohm et de Fourier généralisées (effets Seebeck et Peltier) : $\overrightarrow{E}={\overrightarrow{j}}_{\text{eˊl}}/\sigma +\alpha \overrightarrow{\mathrm{grad}}T$ et ${\overrightarrow{j}}_{\text{th}}=\alpha T{\overrightarrow{j}}_{\text{eˊl}}-\lambda \overrightarrow{\mathrm{grad}}T$.

Q18. Montrer que ${\mathrm{d}}^{2}T/\mathrm{d}{x}^2=-k$, avec $k>0$ fonction de $I$, ${\sigma }_p$, ${\lambda }_p$, $S$.
Q19. Exprimer $T(x)$ en fonction de $k$, $L$, $T_C$ et $\Delta T=T_C-T_F$.