Corrigé CCINP 2025 Physique PC — Partie II (Q20 à Q26) : Générateur thermoélectrique : puissances, adaptation d'impédance, rendement

Suite de la partie précédente (module de la figure 5). Notations : sources à $T_C$ et $T_F$, $\Delta T=T_C-T_F$ ; jambes $p$ et $n$ de longueur $L$, de section $S$, de coefficients Seebeck ${\alpha }_p>0$, ${\alpha }_n<0$, de conductivités électriques ${\sigma }_p$, ${\sigma }_n$ et thermiques ${\lambda }_p$, ${\lambda }_n$ ; courant $I>0$, ${\overrightarrow{j}}_{\text{eˊl}}=(I/S){\overrightarrow{u}}_x$ dans la jambe $p$ ; lois généralisées $\overrightarrow{E}={\overrightarrow{j}}_{\text{eˊl}}/\sigma +\alpha \overrightarrow{\mathrm{grad}}T$ et ${\overrightarrow{j}}_{\text{th}}=\alpha T{\overrightarrow{j}}_{\text{eˊl}}-\lambda \overrightarrow{\mathrm{grad}}T$ ; profil établi en Q18--Q19 : $T(x)=T_C-\Delta Tx/L+kx(L-x)/2$, $k=I^2/({\sigma }_p{\lambda }_p{S}^2)$. ${\mathcal{P}}_C$, ${\mathcal{P}}_F$ : puissances thermiques reçues des sources ; ${\mathcal{P}}_{\text{eˊl}}$ : puissance électrique reçue par le module ; $R_{\text{eˊl},p}$, $R_{\text{th},p}$… : résistances des jambes (Q1, Q2).

Q20. Montrer que ${\mathcal{P}}_{\text{th},p}(x=0)={\alpha }_{p}I{T}_C+\Delta T/R_{\text{th},p}-R_{\text{eˊl},p}{I}^2/2$. (Pour la jambe $n$ : ${\mathcal{P}}_{\text{th},n}(x=0)=-{\alpha }_{n}I{T}_C+\Delta T/R_{\text{th},n}-R_{\text{eˊl},n}{I}^2/2$.)
Q21. En déduire ${\mathcal{P}}_C$, avec $\alpha ={\alpha }_p-{\alpha }_n$ et les résistances équivalentes $R_{\text{eˊl}}$ et $R_{\text{th}}$ du module.
Q22. Sachant que ${\mathcal{P}}_F=-\alpha I{T}_F-\Delta T/R_{\text{th}}-R_{\text{eˊl}}{I}^2/2$, en déduire ${\mathcal{P}}_{\text{eˊl}}$.
Q23. La charge reçoit $-{\mathcal{P}}_{\text{eˊl}}$ : exprimer $I$ en fonction de $\alpha$, $\Delta T$, $R_{\text{eˊl}}$, $R_c$.
Q24. Montrer que la puissance reçue par la charge est maximale pour $R_c=R_{\text{eˊl}}$ ; exprimer ${\left|{\mathcal{P}}_{\text{eˊl}}\right|}_{\max }$.
Q25. Une montre de puissance ${\mathcal{P}}_m=15\mu \mathrm{W}$ est alimentée sous $\Delta T=1\mathrm{K}$ (peau/air). Estimer le nombre $N$ de modules nécessaires, chacun fournissant la puissance de Q24.

Le rendement maximal ${\eta }_{\max }$ d'un module dépend du facteur de mérite $Z_{pn}{T}_m$, avec $T_m=(T_C+T_F)/2$ ; il ne dépasse pas $1$ aujourd'hui. Figure 6 : ${\eta }_{\max }$ en fonction de $T_C$, pour $T_F=300\mathrm{K}$.

Figure 6 — Rendement maximal d'un générateur thermoélectrique élémentaire (source : Techniques de l'Ingénieur).

Q26. Pourquoi maximiser le facteur de mérite ? Estimer le rendement d'un générateur alimenté par les gaz d'échappement d'une turbine à combustion (environ $500^{\circ }\mathrm{C}$) ; comparer aux machines dithermes usuelles.