Corrigé CCINP 2025 Physique PC — Partie III.1 (Q27 à Q30) : Mouvement à force centrale : constante des aires, énergie potentielle effective, libération

Sujet officiel du concours CCINP, session 2025, épreuve Physique PC. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Les sondes Voyager, alimentées par des générateurs thermoélectriques à radio-isotope, ont survolé les planètes extérieures grâce à l'assistance gravitationnelle. La sonde est un point matériel $P$ de masse $m$ , soumis à la seule attraction de Jupiter, dans le référentiel « jupiterocentrique » $R_{j}$ supposé galiléen. Jupiter, à répartition sphérique de masse, agit comme un point matériel de masse $M_{J}$ placé en son centre $J$ . Données : $G = 6, 7 \times 1 0^{- 11} m^{3} \cdot k g^{- 1} \cdot s^{- 2}$ , $M_{J} = 1, 9 \times 1 0^{27} kg$ .

Q27. Par le théorème du moment cinétique, montrer que le moment cinétique $L_{J}$ de la sonde en $J$ se conserve ; en déduire que le mouvement est plan. En coordonnées cylindriques $(r, θ, z = 0)$ de centre $J$ , avec $L_{J} = L_{J} u_{z}$ , montrer que $C = r^{2} θ ˙$ est constante.
Q28. Énergie potentielle $E_{p} (r)$ de la force gravitationnelle, avec $E_{p} (r \to + \infty) = 0$ .
Q29. Justifier la conservation de l'énergie mécanique $E_{m}$ ; l'écrire sous la forme $E_{m} = \frac{1}{2} m r ˙^{2} + E_{p, eff} (r)$ , avec $E_{p, eff}$ en fonction de $m$ , $C$ , $r$ , $E_{p} (r)$ . Tracer l'allure de $E_{p, eff} (r)$ ; discuter les états possibles et la nature de la trajectoire selon $E_{m}$ .
Q30. Vitesse de libération $v_{ℓ}$ de la sonde à la distance $r$ de $J$ .

Corrigé

Q27. Système : la sonde $P$ ; référentiel : $R_{j}$ , galiléen ; force : l'attraction de Jupiter

$F = - \frac{G M _{J} m}{r ^{2}} u_{r}, u_{r} = \frac{J P}{J P} .$

Théorème du moment cinétique en $J$ , point fixe de $R_{j}$ :

$\frac{d L _{J}}{d t} = J P \land F = r u_{r} \land (- \frac{G M _{J} m}{r ^{2}} u_{r}) = 0,$

car la force est centrale (colinéaire à $J P$ ). Donc $L_{J} = J P \land m v$ est un vecteur constant.

Mouvement plan. Si $L_{J} \neq = 0$ , le vecteur $J P$ est à chaque instant orthogonal au vecteur constant $L_{J}$ : $P$ reste dans le plan fixe passant par $J$ et orthogonal à $L_{J}$ . (Si $L_{J} = 0$ , $v$ est colinéaire à $J P$ : le mouvement est rectiligne sur une droite passant par $J$ , donc plan lui aussi.)

Constante des aires. Dans ce plan, $J P = r u_{r}$ et $v = r ˙ u_{r} + r θ ˙ u_{θ}$ (la composante radiale ne disparaît pas dans le calcul : elle donne un produit vectoriel nul). Ainsi

$L_{J} = m r u_{r} \land (r ˙ u_{r} + r θ ˙ u_{θ}) = m r^{2} θ ˙ u_{z},$

et la conservation de $L_{J}$ impose $C = r^{2} θ ˙ = \frac{L _{J}}{m} = constante$ .

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