Corrigé CCINP 2025 Physique PC — Partie III.2 (Q31 à Q34) : Sphère de Hill : équilibre dans le référentiel tournant

Sujet officiel du concours CCINP, session 2025, épreuve Physique PC. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

On cherche à quelle condition l'attraction du Soleil est négligeable devant celle de Jupiter. Dans le référentiel héliocentrique $R_{h}$ galiléen, le centre $J$ de Jupiter décrit un cercle de rayon $d = 7, 8 \times 1 0^{8} km$ autour du centre $S$ du Soleil, dans le plan $(S, u_{x}, u_{y})$ , à la vitesse angulaire $Ω$ , dans le sens direct autour de $(S, u_{z})$ (figure 7). Le Soleil agit comme un point matériel de masse $M_{S} = 2, 0 \times 1 0^{30} kg$ placé en $S$ . Données : $G = 6, 7 \times 1 0^{- 11} m^{3} \cdot k g^{- 1} \cdot s^{- 2}$ , $M_{J} = 1, 9 \times 1 0^{27} kg$ .

Figure 7 — Position considérée de la sonde dans le plan orbital de Jupiter.

Q31. Par la deuxième loi de Newton, exprimer $Ω$ et la vitesse $V_{J, h}$ de Jupiter dans $R_{h}$ en fonction de $G$ , $M_{S}$ , $d$ ; calculer $V_{J, h}$ .

On travaille désormais dans le référentiel $R^{'}$ lié au repère de centre $S$ dont les axes tournent à $Ω$ autour de $(S, u_{z})$ , avec $u_{x^{'}} = S J / d$ .

Q32. $R^{'}$ est-il galiléen ?
Q33. La sonde $P$ est dans le plan orbital, avec $S$ , $P$ , $J$ alignés dans cet ordre (figure 7), à la distance $r$ de $J$ , en équilibre dans $R^{'}$ . Exprimer les forces qu'elle subit (attractions du Soleil et de Jupiter seulement) en fonction de $m$ , $M_{J}$ , $M_{S}$ , $Ω$ , $G$ , $d$ et $r$ .
Q34. Montrer que l'équilibre impose $M_{J} d^{3} (d - r)^{2} = - M_{S} r^{2} ((d - r)^{3} - d^{3})$ . Pour $r ≪ d$ , par un développement limité au plus bas ordre en $r / d$ de chaque membre, en déduire $r = r_{H}$ en fonction de $M_{J}$ , $M_{S}$ , $d$ . On admet que $r_{H}$ vaut pour toute direction : la sonde est en équilibre sur une sphère de centre $J$ et de rayon $r_{H}$ (sphère de Hill). Calculer $r_{H}$ .

Dans la sphère de Hill, on négligera ensuite l'influence du Soleil devant celle de Jupiter.

Corrigé

Q31. Système : Jupiter (son centre $J$ , de masse $M_{J}$ ) ; référentiel : $R_{h}$ , galiléen ; force : l'attraction du Soleil, $F_{S / J} = - \frac{G M _{S} M _{J}}{d ^{2}} u_{x^{'}}$ . Le mouvement est circulaire de rayon $d$ ; en base polaire de centre $S$ ( $u_{x^{'}}$ radial, $u_{y^{'}}$ orthoradial), l'accélération s'écrit $a = - d Ω^{2} u_{x^{'}} + d Ω ˙ u_{y^{'}}$ . La deuxième loi de Newton $M_{J} a = F_{S / J}$ donne :

selon $u_{y^{'}}$ : $d Ω ˙ = 0$ , le mouvement est uniforme ;
selon $u_{x^{'}}$ : $M_{J} d Ω^{2} = \frac{G M _{S} M _{J}}{d ^{2}}$ .

$Ω = \frac{G M _{S}}{d ^{3}}, V_{J, h} = d Ω = \frac{G M _{S}}{d} .$

Application numérique, avec $d = 7, 8 \times 1 0^{11} m$ :

$V_{J, h} = \frac{6 , 7 \times 1 0 ^{- 11} \times 2 , 0 \times 1 0 ^{30}}{7 , 8 \times 1 0 ^{11}} m \cdot s^{- 1} = 1, 7 \times 1 0^{8} m \cdot s^{- 1},$

$V_{J, h} ≃ 1, 3 \times 1 0^{4} m \cdot s^{- 1} = 13 km \cdot s^{- 1} .$

Contrôle : $Ω = V_{J, h} / d ≃ 1, 7 \times 1 0^{- 8} rad \cdot s^{- 1}$ , soit une période $2 π /Ω ≃ 3, 7 \times 1 0^{8} s ≃ 12$ ans : c'est bien la période de révolution de Jupiter. (Une vitesse supérieure à $1 0^{8} m \cdot s^{- 1}$ signalerait une erreur de conversion des kilomètres.)

Q32. $R^{'}$ est en rotation uniforme, à la vitesse angulaire $Ω$ , autour de l'axe fixe $(S, u_{z})$ du référentiel galiléen $R_{h}$ . Il n'est pas en translation rectiligne uniforme par rapport à $R_{h}$ : $R^{'}$ n'est pas galiléen. Il faudra y ajouter les forces d'inertie.

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