Corrigé CCINP 2025 Physique PC — Partie III.3 (Q35 à Q41) : Assistance gravitationnelle : composition des vitesses et gain d'énergie

Sujet officiel du concours CCINP, session 2025, épreuve Physique PC. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

La sonde entre dans la sphère de Hill de Jupiter (rayon $r_{H}$ , Q34) avec la vitesse $v_{e, j} = v_{e, j} u_{x}$ relativement au référentiel jupiterocentrique $R_{j}$ , passe « derrière » Jupiter et en sort avec la vitesse $v_{s, j}$ ; $D$ est l'angle entre $v_{e, j}$ et $v_{s, j}$ (figure 8). Pendant la traversée, $R_{j}$ est galiléen et la vitesse $V_{J, h}$ de $J$ dans $R_{h}$ est constante, selon $+ u_{y}$ ; le plan de la trajectoire de la sonde est le plan orbital $(S, u_{x}, u_{y})$ . Données : $G = 6, 7 \times 1 0^{- 11} m^{3} \cdot k g^{- 1} \cdot s^{- 2}$ , $M_{J} = 1, 9 \times 1 0^{27} kg$ .

Figure 8 — Déviation de la sonde dans le référentiel jupiterocentrique.

Q35. Par la conservation de l'énergie mécanique, montrer que $v_{e, j} = v_{s, j}$ .

On note $v_{j} = v_{e, j} = v_{s, j} = 10 km \cdot s^{- 1}$ .

Q36. Pourquoi $v_{j}$ est-elle au moins égale à la vitesse de libération $v_{ℓ}$ à la distance $r_{H}$ (Q30) ? Le vérifier numériquement.
Q37. Par la loi de composition des vitesses, exprimer les vitesses $v_{e, h}$ et $v_{s, h}$ de la sonde dans $R_{h}$ à l'entrée et à la sortie, en fonction de $v_{e, j}$ , $v_{s, j}$ et $V_{J, h}$ .
Q38. Reproduire la figure 8 avec $v_{e, h}$ et $v_{s, h}$ ; vérifier que la norme de la vitesse héliocentrique a augmenté. Configuration où ce gain serait maximal ?
Q39. Exprimer $v_{e, h}$ et $v_{s, h}$ en fonction de $v_{j}$ , $V_{J, h}$ et $D$ .
Q40. Pour $D = 6 0^{\circ}$ et $V_{J, h}$ de Q31, calculer $v_{e, h}$ , $v_{s, h}$ , $Δ v_{h} = v_{s, h} - v_{e, h}$ et l'économie d'énergie $Δ E_{c, h} = \frac{1}{2} m v_{s, h}^{2} - \frac{1}{2} m v_{e, h}^{2}$ , avec $m = 7, 2 \times 1 0^{2} kg$ . D'où vient ce gain d'énergie cinétique ?
Q41. En brûlant la moitié de ses ergols, la sonde gagnerait environ $60 m \cdot s^{- 1}$ . Comparer à l'assistance gravitationnelle et conclure.

Corrigé

Q35. Système : la sonde ; référentiel : $R_{j}$ , galiléen pendant la traversée ; dans la sphère de Hill, la seule force à prendre en compte est l'attraction de Jupiter (celle du Soleil est négligée, Q34), force conservative. Le théorème de l'énergie mécanique donne la conservation de $E_{m} = \frac{1}{2} m v^{2} - \frac{G M _{J} m}{r}$ (Q28, Q29). L'entrée et la sortie se font sur la sphère de Hill, à la même distance $r = r_{H}$ de $J$ : l'énergie potentielle y a la même valeur. Donc

$\frac{1}{2} m v_{e, j}^{2} - \frac{G M _{J} m}{r _{H}} = \frac{1}{2} m v_{s, j}^{2} - \frac{G M _{J} m}{r _{H}} ⟹ v_{e, j} = v_{s, j} .$

Dans $R_{j}$ , Jupiter ne fait que tourner le vecteur vitesse de la sonde, sans changer sa norme.

Q36. La sonde vient de l'extérieur de la sphère de Hill et y retourne : elle n'est pas liée à Jupiter. Son mouvement dans $R_{j}$ est un état de diffusion (trajectoire hyperbolique), donc $E_{m} \geq 0$ (Q29). À l'entrée, en $r = r_{H}$ :

$\frac{1}{2} m v_{j}^{2} - \frac{G M _{J} m}{r _{H}} \geq 0 ⟺ v_{j} \geq v_{ℓ} (r_{H}) = \frac{2 G M _{J}}{r _{H}} .$

Application numérique, avec $r_{H} = 5, 3 \times 1 0^{10} m$ (Q34) :

$v_{ℓ} (r_{H}) = \frac{2 \times 6 , 7 \times 1 0 ^{- 11} \times 1 , 9 \times 1 0 ^{27}}{5 , 3 \times 1 0 ^{10}} m \cdot s^{- 1} ≃ 2, 2 \times 1 0^{3} m \cdot s^{- 1},$

soit $v_{ℓ} (r_{H}) ≃ 2, 2 km \cdot s^{- 1} < v_{j} = 10 km \cdot s^{- 1}$ . C'est bien vérifié : la sonde traverse la sphère de Hill sans être capturée.

Q37. Le référentiel jupiterocentrique $R_{j}$ (origine $J$ , axes de directions fixes par rapport à ceux de $R_{h}$ ) est en translation par rapport à $R_{h}$ , à la vitesse $V_{J, h}$ . La loi de composition des vitesses se réduit à $v_{R_{h}} = v_{R_{j}} + V_{J, h}$ :

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