Corrigé CCINP 2026 Maths 1 MP-MPI — Exercice II (Q5 à Q8) : Fonctions génératrices et lois de Poisson

Q5. La variable $X$ étant à valeurs dans $\mathbb{N}$, les événements $(X=n)$, $n\in \mathbb{N}$, sont deux à deux incompatibles et de réunion $\Omega$ : par $\sigma$-additivité, la série $\sum P(X=n)$ converge et

$$\sum _{n=0}^{+\infty }P(X=n)=1.$$

Pour $t\in [-1,1]$ et $n\in \mathbb{N}$, on a $|P(X=n)t^n|=P(X=n)|t{|}^n\le P(X=n)$. Par le théorème de comparaison des séries à termes positifs, la série $\sum P(X=n)t^n$ converge absolument, donc converge. Ainsi $G_X(t)$ est défini pour tout $t\in [-1,1]$. Mieux : la majoration ${\sup }_{t\in [-1,1]}|P(X=n)t^n|\le P(X=n)$, terme général d'une série convergente, montre que la série de fonctions converge normalement sur $[-1,1]$ ; en particulier le rayon de convergence de la série entière $\sum P(X=n)t^n$ est au moins $1$, et $G_X(1)=1$.