Corrigé CCINP 2026 Maths 1 MP-MPI — Problème, partie I (Q9 à Q14) : Calcul d'une intégrale à paramètre

Dans toute la partie, on note, pour $x>0$ et $t\in \mathbb{R}$,

$$\phi (x,t)=\frac{x}{x^2+t^2},k(x,t)=\phi (x,t){\mathrm{e}}^{\mathrm{i}t},$$

de sorte que $g(x)={\int }_{\mathbb{R}}k(x,t)\mathrm{d}t$. Le dénominateur $x^2+t^2$ ne s'annule pas puisque $x>0$.

Q9. Soit $x>0$. La fonction $t\mapsto k(x,t)$ est continue sur $\mathbb{R}$, et

$$|k(x,t)|=\frac{x}{x^2+t^2}\underset{t\to \pm \infty }{\sim }\frac{x}{t^2}.$$

Comme $t\mapsto \frac{1}{t^2}$ est intégrable au voisinage de $\pm \infty$ (intégrale de Riemann, exposant $2>1$), le théorème de comparaison des fonctions positives montre que $|k(x,\cdot )|$ est intégrable sur $]-\infty ,-1]$ et sur $[1,+\infty [$ ; elle l'est sur le segment $[-1,1]$ par continuité. Donc $k(x,\cdot )$ est intégrable sur $\mathbb{R}$ ; l'intégrale converge absolument, donc converge, et $g$ est bien définie sur $]0,+\infty [$. (On a d'ailleurs ${\int }_{\mathbb{R}}\frac{x\mathrm{d}t}{x^2+t^2}=[\mathrm{Arctan}\frac{t}{x}{]}_{-\infty }^{+\infty }=\pi$.)

Q10. Soit $x>0$. L'application $\psi :u\mapsto xu$ est une bijection de $\mathbb{R}$ sur $\mathbb{R}$, strictement croissante et de classe ${\mathcal{C}}^1$, avec ${\psi }^{\prime }(u)=x$. Par le théorème de changement de variable (la fonction $t\mapsto k(x,t)$ est continue et d'intégrale convergente sur $\mathbb{R}$ d'après Q9), l'intégrale ci-dessous converge et

$$g(x)={\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{x}{x^2+x^2{u}^2}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}xu}x\mathrm{d}u={\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{x^2}{x^2(1+u^2)}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}xu}\mathrm{d}u={\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}xu}}{1+u^2}\mathrm{d}u.$$

Bornitude. Pour tout $x>0$, par l'inégalité triangulaire intégrale,

$$|g(x)|\le {\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{|{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}xu}|}{1+u^2}\mathrm{d}u={\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{\mathrm{d}u}{1+u^2}=[\mathrm{Arctan}u{]}_{-\infty }^{+\infty }=\frac{\pi }{2}-(-\frac{\pi }{2})=\pi .$$

Donc $g$ est bornée sur $]0,+\infty [$, par $\pi$.

Q11. Posons $h(x,u)=\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}xu}}{1+u^2}$ pour $(x,u)\in [0,+\infty [\times \mathbb{R}$, et $\tilde{g}(x)={\int }_{\mathbb{R}}h(x,u)\mathrm{d}u$. Appliquons le théorème de continuité sous l'intégrale sur $A=[0,+\infty [$ :

• pour tout $u\in \mathbb{R}$, $x\mapsto h(x,u)$ est continue sur $[0,+\infty [$ ;
• pour tout $x\ge 0$, $u\mapsto h(x,u)$ est continue sur $\mathbb{R}$ ;
• domination : pour tous $x\ge 0$ et $u\in \mathbb{R}$, $|h(x,u)|=\frac{1}{1+u^2}$, fonction positive, intégrable sur $\mathbb{R}$ (Q10) et indépendante de $x$.

Donc $\tilde{g}$ est définie et continue sur $[0,+\infty [$. Par Q10, $\tilde{g}=g$ sur $]0,+\infty [$, et $\tilde{g}(0)={\int }_{\mathbb{R}}\frac{\mathrm{d}u}{1+u^2}=\pi$. Par continuité de $\tilde{g}$ en $0$ :