Corrigé CCINP 2026 Maths 1 MP-MPI — Problème, partie II (Q15 à Q18) : Formule sommatoire de Poisson

Q15. Définition. Fixons $x\in \mathbb{R}$. Les termes $f(x+n)$ et $f(x-n)$ sont strictement positifs et

$$f(x+n)=\frac{1}{1+(x+n{)}^2}\underset{n\to +\infty }{\sim }\frac{1}{n^2},f(x-n)=\frac{1}{1+(x-n{)}^2}\underset{n\to +\infty }{\sim }\frac{1}{n^2},$$

car $(x\pm n{)}^2=n^2(1\pm \frac{x}{n}{)}^2\sim n^2$. La série de Riemann $\sum \frac{1}{n^2}$ converge ($2>1$) ; par le théorème de comparaison des séries à termes positifs (équivalents), les deux séries ${\sum }_{n\ge 0}f(x+n)$ et ${\sum }_{n\ge 1}f(x-n)$ convergent. Donc $F(x)$ est défini pour tout $x\in \mathbb{R}$.

Périodicité. Soit $x\in \mathbb{R}$. Dans la première série on pose $m=n+1$, dans la seconde $m=n-1$ (réindexations de séries convergentes) :

$$F(x+1)=\sum _{n=0}^{+\infty }f(x+1+n)+\sum _{n=1}^{+\infty }f(x+1-n)=\sum _{m=1}^{+\infty }f(x+m)+\sum _{m=0}^{+\infty }f(x-m).$$

En sortant de la seconde somme son terme $m=0$, égal à $f(x)$, et en le faisant entrer dans la première :

$$\begin{array}{rl}F(x+1)& =(f(x)+\sum _{m=1}^{+\infty }f(x+m))+\sum _{m=1}^{+\infty }f(x-m)\\ & =\sum _{m=0}^{+\infty }f(x+m)+\sum _{m=1}^{+\infty }f(x-m)=F(x).\end{array}$$

Ainsi $F$ est $1$-périodique.

Q16. Continuité sur $[0,1]$. Posons, pour $x\in [0,1]$, $u_n(x)=f(x+n)$ ($n\ge 0$) et $v_n(x)=f(x-n)$ ($n\ge 1$). Ces fonctions sont continues. La fonction $f$ est paire et décroissante sur $[0,+\infty [$, donc $f(y)\le f(r)$ dès que $|y|\ge r\ge 0$. Pour $x\in [0,1]$ :