Corrigé CCINP 2026 Maths 1 MP-MPI — Problème, partie III (Q19 à Q22) : Applications de la formule sommatoire

Q19. Le coefficient $c_0(F)$. D'après Q17 avec $k=0$ :

$$c_0(F)={\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{\mathrm{d}t}{1+t^2}=[\mathrm{Arctan}t{]}_{-\infty }^{+\infty }=\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{2}=\pi .$$

Les coefficients $c_k(F)$, $k>0$. Soit $k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. D'après Q17,

$$c_k(F)={\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{{\mathrm{e}}^{-2\mathrm{i}\pi kt}}{1+t^2}\mathrm{d}t.$$

Le changement de variable $t=-u$ (bijection de classe ${\mathcal{C}}^1$, strictement décroissante, de $\mathbb{R}$ sur $\mathbb{R}$ ; l'intégrale converge absolument) échange les bornes et compense le signe $\mathrm{d}t=-\mathrm{d}u$ :

$$c_k(F)={\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{{\mathrm{e}}^{2\mathrm{i}\pi ku}}{1+u^2}\mathrm{d}u={\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}xu}}{1+u^2}\mathrm{d}u\text{avec }x=2\pi k>0.$$

On reconnaît l'expression de $g(2\pi k)$ obtenue en Q10, et Q14 donne $g(x)=\pi {\mathrm{e}}^{-x}$ ; donc

$$\boxed{\forall k\in {\mathbb{N}}^{\ast },c_k(F)=g(2\pi k)=\pi {\mathrm{e}}^{-2\pi k}.}$$

La formule reste vraie pour $k=0$, et, avec le résultat admis $c_{-k}(F)=c_k(F)$, on a en résumé $c_k(F)=\pi {\mathrm{e}}^{-2\pi |k|}$ pour tout $k\in \mathbb{Z}$. (Le résultat admis se vérifie d'ailleurs directement : $t=-u$ dans Q17 donne $c_{-k}(F)=c_k(F)$, car $f$ est paire.)

Q20. Pour $n\in \mathbb{N}$ et $x\in \mathbb{R}$, posons $a_n(x)=c_n(F){\mathrm{e}}^{2\mathrm{i}\pi nx}$ et, pour $n\ge 1$, $b_n(x)=c_{-n}(F){\mathrm{e}}^{-2\mathrm{i}\pi nx}$. Ces fonctions sont continues sur $\mathbb{R}$ et, d'après Q19 et le résultat admis, pour tout $x\in \mathbb{R}$ :