Corrigé CCINP 2026 Maths 2 MP-MPI — Exercice 1 (Q1 à Q4) : Puissances d'une matrice aJ + bI : polynôme minimal et binôme

Sujet officiel du concours CCINP, session 2026, épreuve Maths 2 MP-MPI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

$a$ et $b$ sont deux réels, $a \neq = 0$ . On note $J \in M_{3} (R)$ la matrice dont tous les coefficients valent $1$ , et $A = a J + b I_{3}$ (coefficients diagonaux $a + b$ , les autres égaux à $a$ ).

Q1. Donner le rang de $J$ ; diagonaliser $J$ sans calculer de déterminant (sans matrice de passage).
Q2. En déduire que $A$ est semblable à une matrice diagonale à préciser.
Q3. Justifier sans calcul que le polynôme minimal de $A$ est $π_{A} = (X - b) (X - 3 a - b)$ .
Q4. Calculer $A^{n}$ de deux façons : a) par le reste de la division euclidienne de $X^{n}$ par $π_{A}$ (on pose $λ = 3 a + b$ ) ; b) en calculant $J^{k}$ pour $k \geq 1$ puis en utilisant $A = a J + b I$ (réponse en fonction de $J$ et $I$ , sans signe somme).

Corrigé

Q1. Les trois colonnes de $J$ sont égales à $U = (111)$ , non nulle : $Im J = Vect (U)$ et

$rg J = 1.$

Valeur propre $0$ . Par le théorème du rang, $dim Ker J = 3 - 1 = 2$ : $0$ est valeur propre de $J$ et $dim E_{0} (J) = 2$ (par exemple $E_{0} (J) = Vect ((1, - 1, 0)^{⊤}, (0, 1, - 1)^{⊤})$ , ces deux vecteurs étant non colinéaires et annulés par $J$ ).

Valeur propre $3$ . Chaque ligne de $J$ a pour somme $3$ , donc $J U = 3 U$ avec $U \neq = 0$ : $3$ est valeur propre et $dim E_{3} (J) \geq 1$ .

Conclusion. Les sous-espaces propres associés à des valeurs propres distinctes sont en somme directe, donc $dim E_{0} (J) + dim E_{3} (J) \geq 3 = dim R^{3}$ : la somme vaut exactement $3$ , $R^{3} = E_{0} (J) \oplus E_{3} (J)$ , et $J$ est diagonalisable :

$J = P D P^{- 1}, D = diag (0, 0, 3), P \in G L_{3} (R) .$

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