Corrigé CCINP 2026 Maths 2 MP-MPI — Exercice 2 (Q5 à Q9) : Matrices circulantes et produit des P(ω_k)

$n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, $P=a_0+a_{1}X+\cdots +a_{n-1}{X}^{n-1}\in \mathbb{R}[X]$ de degré $n-1$, et ${\omega }_k={\mathrm{e}}^{2\mathrm{i}k\pi /n}$ ($0\le k\le n-1$) les racines $n$-ièmes de l'unité. But : établir $(\ast )$ $P({\omega }_1)P({\omega }_2)\cdots P({\omega }_{n-1})\in \mathbb{R}$. $J\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ est la matrice de permutation circulaire : coefficients $1$ en positions $(i,i+1)$ ($1\le i\le n-1$) et $(n,1)$, $0$ ailleurs. $A$ est la matrice circulante de première ligne $(a_0,a_1,\dots ,a_{n-1})$, chaque ligne étant la précédente décalée d'une case vers la droite (circulairement).

Q5. Calculer $1+\mathrm{j}+{\mathrm{j}}^2$ ($\mathrm{j}={\mathrm{e}}^{2\mathrm{i}\pi /3}$) ; vérifier $(\ast )$ sur un polynôme de degré $2$ de son choix, à coefficients réels non nuls et deux à deux distincts.
Q6. Montrer que ${\chi }_J=X^n-1$.
Q7. Comparer $A$ et $P(J)$.
Q8. Diagonaliser $J$, puis $A$, dans ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{C})$.
Q9. En déduire $(\ast )$.