Corrigé CCINP 2026 Maths 2 MP-MPI — Problème (Q10 à Q20) : Polynômes de Laguerre, projection orthogonale et inégalité de Bessel

Q10. a) Posons $y={\sum }_{i=0}^n⟨x\mid e_i⟩e_i$. C'est une combinaison linéaire des $e_i$, donc $y\in F$. Pour $j\in [[0,n]]$, par bilinéarité et orthonormalité ($⟨e_i\mid e_j⟩={\delta }_{i,j}$) :

$$⟨x-y\mid e_j⟩=⟨x\mid e_j⟩-\sum _{i=0}^n⟨x\mid e_i⟩⟨e_i\mid e_j⟩=⟨x\mid e_j⟩-⟨x\mid e_j⟩=0.$$

Tout $z\in F$ s'écrit $z={\sum }_j{z}_j{e}_j$, d'où $⟨x-y\mid z⟩={\sum }_j{z}_j⟨x-y\mid e_j⟩=0$ : $x-y\in F^{\perp }$. Le vecteur $y$ appartient à $F$ et vérifie $x-y\in F^{\perp }$ ; par l'unicité donnée dans la définition, $y=p_F(x)$.

Ce que le correcteur attend : $E$ n'est pas supposé de dimension finie ; on ne complète donc pas la base de $F$ en une base de $E$, on utilise la caractérisation fournie.

b) On écrit $x=p_F(x)+(x-p_F(x))$ avec $p_F(x)\in F$ et $x-p_F(x)\in F^{\perp }$ : ces deux vecteurs sont orthogonaux, et le théorème de Pythagore donne

$$\Vert x{\Vert }^2=\Vert p_F(x){\Vert }^2+\Vert x-p_F(x){\Vert }^2\ge \Vert p_F(x){\Vert }^2.$$

Par a) et Pythagore pour la famille orthonormale $(e_i)$ : $\Vert p_F(x){\Vert }^2={\sum }_{i,j}⟨x\mid e_i⟩⟨x\mid e_j⟩⟨e_i\mid e_j⟩={\sum }_{i=0}^n⟨x\mid e_i{⟩}^2$, d'où l'inégalité de Bessel :

$$\sum _{i=0}^n⟨x\mid e_i{⟩}^2\le \Vert x{\Vert }^2.$$

Q11. Pour $(a,b)\in {\mathbb{R}}^2$, $|ab|=|a||b|$ et $a^2=|a{|}^2$, $b^2=|b{|}^2$, donc

$$0\le (|a|-|b|{)}^2=a^2+b^2-2|ab|,\text{soit}|ab|\le \frac{a^2+b^2}{2}.$$

Soient $f,g\in E$. La fonction $t\mapsto f(t)g(t){\mathrm{e}}^{-t}$ est continue sur $I$ et, en appliquant l'inégalité à $a=f(t){\mathrm{e}}^{-t/2}$, $b=g(t){\mathrm{e}}^{-t/2}$ :

$$|f(t)g(t){\mathrm{e}}^{-t}|\le \frac{1}{2}(f(t{)}^2{\mathrm{e}}^{-t}+g(t{)}^2{\mathrm{e}}^{-t})(t\in I).$$

Le majorant est intégrable sur $I$ (combinaison linéaire de deux fonctions intégrables, par définition de $E$). Par le théorème de comparaison pour les fonctions positives, $|fg{\mathrm{e}}^{-t}|$ est intégrable sur $I$ : $fg{\mathrm{e}}^{-t}$ est intégrable sur $I$.

Ce que le correcteur attend : le produit de deux fonctions intégrables n'est pas intégrable en général ; c'est la majoration ci-dessus qui fait tout.

Q12. Espace vectoriel. $E$ est une partie de l'espace vectoriel $\mathcal{C}(I,\mathbb{R})$ ; montrons que c'en est un sous-espace. La fonction nulle est dans $E$. Soient $f,g\in E$ et $\lambda \in \mathbb{R}$ : $\lambda f+g$ est continue et

$$(\lambda f+g{)}^2{\mathrm{e}}^{-t}={\lambda }^2{f}^2{\mathrm{e}}^{-t}+2\lambda fg{\mathrm{e}}^{-t}+g^2{\mathrm{e}}^{-t},$$

combinaison linéaire de trois fonctions intégrables sur $I$ (la deuxième par Q11) ; l'ensemble des fonctions intégrables sur $I$ étant un espace vectoriel, $(\lambda f+g{)}^2{\mathrm{e}}^{-t}$ est intégrable : $\lambda f+g\in E$.

Produit scalaire. L'application est bien définie : pour $f,g\in E$, l'intégrale converge (absolument) par Q11.

• Symétrie : évidente, $f(t)g(t)=g(t)f(t)$.
• Linéarité à gauche : pour $f_1,f_2,g\in E$ et $\lambda \in \mathbb{R}$, les fonctions $f_{1}g{\mathrm{e}}^{-t}$ et $f_{2}g{\mathrm{e}}^{-t}$ sont intégrables (Q11), et la linéarité de l'intégrale sur $I$ donne $⟨\lambda f_1+f_2\mid g⟩=\lambda ⟨f_1\mid g⟩+⟨f_2\mid g⟩$. Avec la symétrie : forme bilinéaire symétrique.
• Positivité : $⟨f\mid f⟩={\int }_0^{+\infty }f(t{)}^2{\mathrm{e}}^{-t}\mathrm{d}t\ge 0$ (intégrale d'une fonction positive).
• Caractère défini : si $⟨f\mid f⟩=0$, la fonction $\phi =f^2{\mathrm{e}}^{-t}$ est continue, positive, d'intégrale nulle sur $I$. Si l'on avait $\phi (t_0)>0$ en un $t_0\in I$, la continuité donnerait $\eta >0$ avec $\phi \ge \phi (t_0)/2$ sur $[t_0,t_0+\eta ]\subset I$, d'où ${\int }_I\phi \ge \eta \phi (t_0)/2>0$ : contradiction. Donc $\phi =0$ sur $I$, et comme ${\mathrm{e}}^{-t}>0$, $f=0$.