Corrigé CCINP 2026 Modélisation PC — Partie I.1 (Q1 à Q14) : Vibration d'une molécule diatomique : potentiel de Morse, oscillateur harmonique, loi de Hooke et multiplicité des liaisons

Le sujet étudie un spectrophotomètre infrarouge (la figure 1 est une photographie de l'appareil). Une molécule diatomique $AB$ isolée est modélisée par deux masses ponctuelles $m_A$ et $m_B$ mobiles sur l'axe $Ox$ d'un référentiel galiléen ; $x=x_B-x_A$ est la distance internucléaire (figure 2). Mécanique newtonienne.

{Figure 2 — Molécule diatomique $AB$}

Potentiel de Morse (figure 3) : $E_{\mathrm{p}}(x)=D{\left(1-{\mathrm{e}}^{-\alpha (x-x_e)}\right)}^2$, avec $D$, $\alpha$, $x_e$ constantes positives.

{Figure 3 — Énergie potentielle de la molécule en fonction de la distance entre les noyaux}

Q1. Unités SI de $D$, $\alpha$ et $x_e$.
Q2. D'après la figure 3, existe-t-il une position d'équilibre ? Est-elle stable ? (une phrase, sans calcul)
Q3. Tracer $E_{\mathrm{p}}(x)$ en y plaçant $D$ ; état lié ou libre selon que $E_{\mathrm{m}}>D$ ou $E_{\mathrm{m}}<D$ ?
Q4. Approximation harmonique : développement limité à l'ordre 2 de $E_{\mathrm{p}}(x)$ autour de $x_e$.
Q5. En déduire $E_{\mathrm{p}}(x)=\frac{1}{2}k(x-x_e{)}^2$ ; exprimer la constante de force $k$ ; signe de $k$ ?
Q6. Deuxième loi de Newton pour $A$ : relation (1) entre ${\ddot{x}}_A$, $m_A$, $k$, $x$ et $x_e$.
Q7. Même chose pour $B$ : relation (2).
Q8. Montrer que $\mu \ddot{x}+kx=k{x}_e$ et exprimer la masse réduite $\mu$.
Q9. Fréquence $f_0$ des petites oscillations. (Une onde de fréquence $f=f_0$ est absorbée par résonance.)
Q10. Nombre d'onde ${\sigma }_0=1/{\lambda }_0$ en fonction de $f_0$ et $c$, puis de $\mu$, $c$ et $k$ (loi de Hooke).

Liaison simple : un ressort $(k,x_e)$ ; double : deux ressorts identiques en parallèle (figure 4) ; triple : trois.

{Figure 4 — Masse reliée à deux ressorts identiques en parallèle, fixés à l'autre extrémité}

Q11. Raideur $k_{eq}$ du ressort équivalent à deux ressorts en parallèle.
Q12. Sans démonstration, raideur équivalente à trois ressorts en parallèle.
Q13. Nombre d'onde ${\sigma }_0$ absorbé par a) une double liaison, b) une triple liaison. Conclure.
Q14. Attribuer $1650$, $1300$ et $2200\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-1}$ aux liaisons $\mathrm{C}-\mathrm{N}$, $\mathrm{C}\equiv \mathrm{N}$, $\mathrm{C}=\mathrm{N}$.