Corrigé CCINP 2026 Modélisation PC — Partie I.2 (Q15 à Q26) : Oscillateur harmonique quantique : équation de Schrödinger stationnaire résolue numériquement en Python

Énergie vibrationnelle quantifiée : $E=\hslash {\omega }_0(v+\frac{1}{2})$, $v\in \mathbb{N}$. Une particule de masse $\mu$ est dans le potentiel $V(x)=\frac{1}{2}k{x}^2=\frac{1}{2}\mu {\omega }_0^2{x}^2$. Équation de Schrödinger : $\mathrm{i}\hslash {\partial }_t\psi =-\frac{{\hslash }^2}{2\mu }{\partial }_x^2\psi +V(x)\psi$ ; états stationnaires $\psi (x,t)=\phi (x){\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}Et/\hslash }$.

Q15. Montrer que $\frac{{\mathrm{d}}^2\phi }{\mathrm{d}{x}^2}+\frac{\mu }{{\hslash }^2}\left(2E-\mu {\omega }_0^2{x}^2\right)\phi =0$.

Résolution numérique sur $[-L,L]$ ($V(\pm L)=E_5$, figure 5), avec $N=10000$ points équidistants de pas $\mathrm{d}x$.

{Figure 5 — $L$ défini par l'intersection de $V(x)$ avec $E_5$}

Q16. Développements à l'ordre 2 de $\phi (x+\mathrm{d}x)$ et de $\phi (x-\mathrm{d}x)$.
Q17. En déduire ${\mathrm{d}}^2\phi /\mathrm{d}{x}^2$ en fonction de $\mathrm{d}x$, $\phi (x)$, $\phi (x\pm \mathrm{d}x)$.
Q18. Avec $x_i$ ($0⩽i<N$), ${\phi }_i=\phi (x_i)$ : relation entre ${\phi }_{i+1}$, ${\phi }_{i-1}$, ${\phi }_i$, ${\phi }^{\prime \prime }$ et $\mathrm{d}x$.
Q19. Montrer que ${\phi }_{i+1}=\left(2+\frac{2\mu {\omega }_0}{{\hslash }^2}\mathrm{d}{x}^2\left(\frac{1}{2}\mu {\omega }_0{x}_i^2-\hslash \left(v+\frac{1}{2}\right)\right)\right){\phi }_i-{\phi }_{i-1}$.

Programme 1 : données hbar=1.05e-34, mu=1e-28, omega0=1e14, N=10000 ; instructions 1.1 à 1.3 (discrétisation) ; fonction fonction_onde(v) : instructions 2 (calcul), 3.1 et 3.2 (normalisation), return phi ; instructions 4 (tracé). Conditions : $\phi (x_0)=0$ et, arbitrairement, $\phi (x_1)=1$.

Q20. Instruction 1.1 : calcul de $L$.
Q21. Instruction 1.2 : vecteur X des $N$ positions de $[-L,L]$.
Q22. Instruction 1.3 : pas dx à partir de X.
Q23. Instructions 2 : créer phi, le remplir de zéros, puis des valeurs de $\phi$.

Normalisation : diviser phi par la racine de ${\int }_{-L}^L{\phi }^2\mathrm{d}x$, calculée par rectangles à gauche : ${\int }_{x_i}^{x_{i+1}}f\mathrm{d}x\approx (x_{i+1}-x_i)f(x_i)$ (figure 6).

{Figure 6 — Méthode des rectangles à gauche}

Q24. Instruction 3.1 : norm $={\int }_{-L}^L{\phi }^2\mathrm{d}x$ (rectangles à gauche).
Q25. Instruction 3.2 : diviser phi par la racine de norm.
Q26. Instructions 4 : tracer sur un même graphique $\phi$ normalisée pour $v\in \{0,1,2\}$ (figure 7).

{Figure 7 — Fonction d'onde spatiale normalisée pour $v=0$, $1$ et $2$}