Corrigé CCINP 2026 Modélisation PC — Partie I.3 (Q27 à Q36) : Onde électromagnétique dans une solution absorbante : permittivité complexe, atténuation, loi de Beer-Lambert

Sujet officiel du concours CCINP, session 2026, épreuve Modélisation PC. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Une onde plane progressive harmonique, de pulsation $ω$ et de longueur d'onde $λ = 6000 nm$ dans l'air (assimilé au vide), se propage selon les $x$ croissants et arrive sous incidence normale en $x = 0$ sur une cuve d'épaisseur $e$ ( $0 ⩽ x ⩽ e$ ) contenant une solution absorbante. Parois et réflexions négligées ; base orthonormée directe $(e_{x}, e_{y}, e_{z})$ ; $μ_{0}$ perméabilité du vide ; $j^{2} = - 1$ . Équations de Maxwell admises dans la solution, en notation complexe :

$div E = 0, rot E = - \frac{\partial B}{\partial t}, div B = 0, rot B = ε μ_{0} \frac{\partial E}{\partial t}, ε = ε_{r} - j ε_{i}, ε_{i} > 0.$

On cherche $E = E_{0} e^{j (ω t - k x)} e_{y}$ , $k$ a priori complexe. Annexe : $rot (rot E) = grad (div E) - Δ E$ et $⟨ Π ⟩ = \frac{1}{2} R e (E \land B^{*} / μ_{0})$ .

Q27. Équation de propagation de $E$ .
Q28. Relation de dispersion : $k^{2}$ en fonction de $ω$ , $μ_{0}$ , $ε_{r}$ , $ε_{i}$ .
Q29. Pour $0 < ε_{i} ≪ ε_{r}$ , écrire $k \approx k^{'} - j k^{''}$ ( $k^{''} > 0$ ) ; exprimer $k^{'}$ et $k^{''}$ .
Q30. Champ réel $E (x, t)$ (en fonction de $k^{'}$ , $k^{''}$ ). Le milieu est-il absorbant ?
Q31. Vitesse de phase $v_{φ}$ . Le milieu est-il dispersif ?
Q32. Champ magnétique complexe $B (x, t)$ en fonction de $k^{'}$ , $k^{''}$ .
Q33. Montrer que l'intensité $I = ⟨ Π ⟩$ vaut $I_{0} exp (- x / δ)$ ; exprimer $I_{0}$ (en fonction de $k^{'}$ , $ω$ , $μ_{0}$ , $E_{0}$ ) et $δ$ (en fonction de $k^{''}$ ).
Q34. Avec $δ = 1/ (α c_{0})$ ( $α$ constante, $c_{0}$ concentration de l'espèce absorbante), intensité $I_{s}$ en sortie de cuve.
Q35. Absorbance $A = lo g (I_{0} / I_{s})$ et transmittance $T = I_{s} / I_{0}$ en fonction de $α$ , $c_{0}$ , $e$ .
Q36. Avec $ϵ_{e m} = α / ln 10$ (coefficient d'extinction molaire), exprimer $A$ ; nom de cette relation ?

Corrigé

Remarque préalable. Dans l'équation de Maxwell-Ampère posée par le sujet, $ε μ_{0}$ remplace $ε_{0} μ_{0}$ : $ε$ est une permittivité absolue (en $F \cdot m^{- 1}$ ), et $ε_{r}$ , $ε_{i}$ ne sont pas ici des grandeurs sans dimension. Le milieu est supposé neutre ( $div E = 0$ ) et les charges liées de la solution sont prises en compte dans $ε$ .

Propagation et relation de dispersion.

Q27. On prend le rotationnel de l'équation de Maxwell-Faraday et on utilise Maxwell-Ampère (les dérivations en temps et en espace commutent) :

$rot (rot E) = - \frac{\partial}{\partial t} rot B = - ε μ_{0} \frac{\partial ^{2} E}{\partial t ^{2}} .$

Par la formule de l'annexe et Maxwell-Gauss ( $div E = 0$ ), $rot (rot E) = - Δ E$ . D'où l'équation de propagation

$Δ E - μ_{0} ε \frac{\partial ^{2} E}{\partial t ^{2}} = 0 .$

Elle a la forme d'une équation de d'Alembert, mais avec un coefficient complexe : ce n'est pas une équation de d'Alembert au sens strict, et il n'y a pas lieu d'introduire une célérité réelle $c$ .

Q28. Pour l'onde plane harmonique cherchée, $\partial / \partial t \to j ω$ et $\partial / \partial x \to - j k$ (le champ ne dépend que de $x$ et $t$ ) : $Δ E = - k^{2} E$ et $\partial^{2} E / \partial t^{2} = - ω^{2} E$ . En simplifiant par $E \neq = 0$ :

$k^{2} = μ_{0} ε ω^{2} = μ_{0} ω^{2} (ε_{r} - j ε_{i}) .$

Le champ est bien transverse ( $div E = \partial_{y} E_{y} = 0$ : il ne dépend pas de $y$ ).

Q29. On factorise par $ε_{r}$ et on utilise le développement limité $1 - u \approx 1 - u /2$ pour $u = j ε_{i} / ε_{r}$ , de module $≪ 1$ :

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