Corrigé CCINP 2026 Modélisation PC — Partie II.1 (Q37 à Q47) : Source infrarouge : nickel et alliage Ni3Cr cubique à faces centrées, bilan thermique par rayonnement et convection, dichotomie

Sujet officiel du concours CCINP, session 2026, épreuve Modélisation PC. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Source : tige en alliage nickel-chrome chauffée par effet Joule.

Q37. Configuration électronique du nickel ( $Z = 28$ ) ; ligne et colonne dans la classification.

L'alliage cristallise en cubique à faces centrées : le nickel occupe les sommets et les centres de quatre faces, le chrome les centres des deux autres faces (opposées).

Q38. Nombre d'atomes de chrome et de nickel par maille.
Q39. Paramètre de maille $a$ en fonction de la masse volumique $μ (NiCr)$ et des masses molaires $M (Ni)$ , $M (Cr)$ (le calcul donne $a = 350 pm$ ).
Q40. Distance moyenne $d$ entre deux atomes voisins, en assimilant les atomes à des atomes identiques. Aide : $350 \times 1, 4 = 490$ ; $350/1, 4 = 250$ ; $350 \times 1, 7 = 595$ ; $350/1, 7 \approx 206$ .

La tige est un cylindre de longueur $L$ , de rayon $a$ , de conductivité $γ$ , de résistance $R = L / (γ π a^{2})$ , parcouru par un courant $i$ ; sa surface est à $T_{s} = 1000 K$ . Elle échange de l'énergie par rayonnement (loi de Stefan, $φ_{s} = σ T^{4}$ , $σ = 5, 67 \times 1 0^{- 8} W \cdot m^{- 2} \cdot K^{- 4}$ ; tige et gaz assimilés à des corps noirs) et par conducto-convection (loi de Newton, puissance $∣ H S (T - T_{a}) ∣$ , $H = 1 W \cdot m^{- 2} \cdot K^{- 1}$ ) avec le gaz environnant, de température $T_{a}$ inconnue. Régime permanent.

Q41. Puissance électrique $P_{e ˊ lec}$ reçue par la tige (en fonction de $γ$ , $L$ , $a$ , $i$ ).
Q42. Puissance $P_{r a y}$ échangée par rayonnement (en fonction de $σ$ , $a$ , $L$ , $T_{a}$ , $T_{s}$ ).
Q43. Puissance $P_{cc}$ échangée par conducto-convection.
Q44. Bilan énergétique : montrer que $σ T_{a}^{4} + H T_{a} = σ T_{s}^{4} + H T_{s} - \frac{i ^{2}}{2 π ^{2} γ a ^{3}}$ .

Dichotomie (figure 8) : $f$ continue, strictement monotone sur $[b, c]$ , $f (b) f (c) < 0$ ; milieu $m$ ; si $f (b)$ et $f (m)$ sont de même signe, la racine est dans $[m, c]$ , sinon dans $[b, m]$ ; on itère jusqu'à la précision $p$ .

{Figure 8 — Méthode de dichotomie}

Programme 2 : données H=1, sigma=5.67e-8, Ts=1000, i=25, a=1e-3, gamma=1e7 ; def f(x): [instruction 4] ; [instructions 5] ; dernière ligne print(f"La température Ta vaut : \{Dichotomie(f,298,1000,1):.0f\ K ")}.

Q45. Instruction 4 : définir la fonction $f$ .
Q46. Instructions 5 : fonction dichotomie(f, b, c, p) renvoyant la solution de $f (x) = 0$ à la précision $p$ .
Q47. Le programme affiche « La température Ta vaut : 986 K ». Commenter.

Corrigé

Structure cristalline.

Q37. Règle de Klechkowski (remplissage par $n + ℓ$ croissant) et principe de Pauli, pour $28$ électrons :

$Ni : 1 s^{2} 2 s^{2} 2 p^{6} 3 s^{2} 3 p^{6} 4 s^{2} 3 d^{8} = [Ar] 4 s^{2} 3 d^{8} .$

Le nombre quantique principal le plus élevé est $n = 4$ : le nickel est dans la 4^e ligne (période). Le bloc d est en cours de remplissage ( $4 s^{2} 3 d^{8}$ : $2 + 8 = 10$ électrons au-delà du gaz noble) : c'est un métal de transition de la 10^e colonne (celle de Pd et Pt).

Q38. Un atome au sommet est partagé entre $8$ mailles, un atome au centre d'une face entre $2$ :

$N_{Ni} = 8 \times \frac{1}{8} + 4 \times \frac{1}{2} = 3, N_{Cr} = 2 \times \frac{1}{2} = 1.$

Soit $4$ atomes par maille, comme dans tout réseau cubique à faces centrées ; la formule de l'alliage est $N i_{3} Cr$ .

Q39. La masse d'une maille est celle de ses atomes, $\frac{3 M ( Ni ) + M ( Cr )}{N _{A}}$ ( $N_{A}$ constante d'Avogadro), et son volume est $a^{3}$ :

$μ (NiCr) = \frac{3 M ( Ni ) + M ( Cr )}{N _{A} a ^{3}} ⟹ a = (\frac{3 M ( Ni ) + M ( Cr )}{N _{A} μ ( NiCr )})^{1/3} .$

Contrôle : avec $M (Ni) = 58, 7 g \cdot mo l^{- 1}$ et $M (Cr) = 52, 0 g \cdot mo l^{- 1}$ , $a = 350 pm$ correspond à $μ \approx 8, 8 \times 1 0^{3} kg \cdot m^{- 3}$ , valeur voisine de celle du nickel : c'est cohérent.

Q40. Dans un cubique à faces centrées d'atomes identiques (sphères de rayon $r$ ), les atomes sont tangents le long de la diagonale d'une face : un sommet, le centre de la face et le sommet opposé sont alignés et au contact. Cette diagonale mesure $a 2$ et contient $4 r$ .

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