Corrigé CCINP 2026 Modélisation PC — Partie II.2 (Q48 à Q56) : Monochromateur à réseau : déphasage entre traits, intensité de N ondes, résolution calculée en Python

Réseau par transmission ($n=50$ traits par millimètre, $N=1000$ traits) éclairé sous incidence nulle par un faisceau parallèle polychromatique. Une lentille convergente de focale $f^{\prime }=20\mathrm{cm}$, d'axe perpendiculaire au réseau, est à la distance $f^{\prime }$ de l'écran (figure 9).

{Figure 9 — Schéma d'un monochromateur}

Q48. Différence de marche $\delta$ en $M$ (ordonnée $x$) entre deux rayons de longueur d'onde ${\lambda }_0$ diffractés sous l'angle $\theta$ par deux fentes consécutives distantes de $a=1/n$ ; montrer que, dans les conditions de Gauss, le déphasage vaut $\phi =\frac{2\pi x}{{\lambda }_{0}n{f}^{\prime }}$.

Les amplitudes diffractées par les traits $1$ à $N$ sont $A_0$, $A_0{\mathrm{e}}^{-j\phi }$, …, $A_0{\mathrm{e}}^{-j(N-1)\phi }$ ; leur somme est $\underline{A}$, l'intensité $I=\underline{A}{\underline{A}}^{\ast }$ et $I_0=A_0^2$. Les figures 10 et 11 montrent $I/I_0$ en fonction de $x$ pour une longueur d'onde fixée.

{Figure 10 — $I/I_0$ pour $N=1000$ ondes en fonction de $x$}

{Figure 11 — Répartition de l'intensité sur l'écran}

L'écran est percé d'une fente fine centrée en $x_0$, de largeur $b$ (figure 12) ; la source émet entre $2\times 10^{-6}$ et $6\times 10^{-6}\mathrm{m}$.

{Figure 12 — Filtrage spectral à l'aide d'une fente}

Programme 3 : n=50_000 (traits par mètre), f=0.2, N=1000 ; instruction 6 ; def intensite(x,lamda): instructions 7 ; def resolution(x0,b): instructions 8.1 à 8.5.

Q49. Instruction 6 : fonction phi(x, lamda) renvoyant $\phi$ (Q48).
Q50. Instructions 7 : intensite(x, lamda) renvoyant $I$ (annexe : np.sum, a.conjugate()).
Q51. Instructions 8.1 : bornes x_min, x_max fixées par la fente.
Q52. Instructions 8.2 : listes X_list ($1000$ valeurs entre x_min et x_max) et Lambda_list ($1000$ longueurs d'onde de la source).
Q53. Instruction 8.3 : I_seuil, égale à $0,1$ fois l'intensité maximale (une radiation est transmise si son intensité dépasse ce seuil dans la fente).
Q54. Instructions 8.4 : liste longueur_onde des lamda transmises.
Q55. Instruction 8.5 : renvoyer $\Delta \lambda$, écart entre la plus grande et la plus petite longueur d'onde transmise.
Q56. Pour $x_0=3\mathrm{cm}$ et $b=0,1\mathrm{mm}$, on obtient $\Delta \lambda =1,2\times 10^{-8}\mathrm{m}$. Commenter.