Corrigé CCINP 2026 Modélisation PSI — Partie I (Q1 à Q9) : Débit de la pompe et cinématique du système bielle-manivelle

Sujet officiel du concours CCINP, session 2026, épreuve Modélisation PSI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Une pompe fait circuler l'eau d'une piscine (volume de $V_{m i n} = 30 m^{3}$ à $V_{m a x} = 120 m^{3}$ ) dans le filtre et le traitement (figure 1 : photographie, non reproduite). Tout le volume doit passer en $8 h$ par jour, à $1, 5 m \cdot s^{- 1}$ dans les canalisations.

Q1. Calculer $q_{m i n}$ et $q_{m a x}$ (en $L \cdot s^{- 1}$ ), puis les diamètres $d_{m i n}$ et $d_{m a x}$ de la tuyauterie (en mm).

Le système d'aspiration (figure 2) comprend le bâti (0), la manivelle (1) en pivot d'axe $(O, z_{0})$ , la bielle (2) en pivot d'axe $(A, z_{0})$ avec (1) et $(B, z_{0})$ avec le piston (3), lui-même en glissière de direction $x_{0}$ avec (0). Paramétrage : $O A = R x_{1}$ , $A B = L x_{2}$ ( $R < L$ ), $O B = x_{3} x_{0}$ , $θ_{1} = (x_{0}, x_{1})$ , $θ_{2} = (x_{0}, x_{2})$ , diamètre du piston $d_{p}$ ; $R_{0}$ est galiléen, $θ_{1} = 0$ à $t = 0$ et $Ω_{m} = θ ˙_{1}$ est constante.

Figure 2 — Schéma cinématique d'une partie de la pompe.

Q2. Établir la relation entrée-sortie $x_{3} = f (θ_{1}, R, L)$ et justifier que seule $x_{3} = R cos θ_{1} + L^{2} - (R sin θ_{1})^{2}$ convient.
Q3. Exprimer $x_{3} / L$ ; tracer son allure sur $[0, 4 π]$ pour $R / L = 1/2$ ; donner ses valeurs en $θ_{1} = 0$ et $θ_{1} = π$ .
Q4. Exprimer la cylindrée $C$ (volume balayé par le piston en un tour) en fonction de $R$ et $d_{p}$ .
Q5. Exprimer la vitesse $v_{3}$ du piston par rapport au bâti en fonction de $θ_{1}$ , $Ω_{m}$ , $R$ et $L$ .

Le débit refoulé $q$ est nul pour $θ_{1} \in [0, π]$ .

Q6. Exprimer $q$ sur chacun des deux intervalles en fonction de $v_{3}$ et $d_{p}$ .
Q7. En déduire le débit moyen $q_{m oy}$ sur un tour en fonction de $R$ , $d_{p}$ et $Ω_{m}$ .

Mesure pour $d_{p} = 0, 03 m$ , $R = 0, 04 m$ , $L = 0, 08 m$ , $Ω_{m} = 2500 tr \cdot mi n^{- 1}$ (figure 3).

Figure 3 — Relevés de mesure du débit de la pompe.

Q8. Écrire la fonction Python moyenne(q) qui renvoie le débit moyen de la liste q des débits relevés.
Q9. Le programme donne $q_{m oy} = 2, 4 \times 1 0^{- 3} m^{3} \cdot s^{- 1}$ . Calculer le débit moyen du modèle (Q7), comparer et conclure sur la validité du modèle.

Corrigé

Q1. Le volume $V$ doit passer en $Δ t = 8 h = 28800 s$ : le débit volumique est $q = V /Δ t$ .

$q_{m i n} = \frac{30}{28 800} \approx 1, 0 \times 1 0^{- 3} m^{3} \cdot s^{- 1} = 1, 0 L \cdot s^{- 1},$

$q_{m a x} = \frac{120}{28 800} \approx 4, 2 \times 1 0^{- 3} m^{3} \cdot s^{- 1} = 4, 2 L \cdot s^{- 1} .$

Pour un écoulement de vitesse débitante $v$ dans une conduite circulaire de diamètre $d$ , $q = v π d^{2} /4$ , d'où $d = 4 q / (π v)$ :

$d_{m i n} = \frac{4 \times 1 , 04 \times 1 0 ^{- 3}}{π \times 1 , 5} \approx 3, 0 \times 1 0^{- 2} m = 30 mm, d_{m a x} = 2 d_{m i n} \approx 60 mm$

(le débit est multiplié par 4, le diamètre par $4 = 2$ ). Ce sont les diamètres usuels des canalisations de piscine (tubes PVC de 32 à 63 mm) : ordre de grandeur cohérent.

Q2. Fermeture géométrique de la chaîne $0 \to 1 \to 2 \to 0$ : $O A + A B + B O = 0$ , soit $R x_{1} + L x_{2} - x_{3} x_{0} = 0$ . En projection sur $x_{0}$ et $y_{0}$ :

$R cos θ_{1} + L cos θ_{2} = x_{3}, R sin θ_{1} + L sin θ_{2} = 0.$

La seconde donne $sin θ_{2} = - \frac{R}{L} sin θ_{1}$ , donc $cos θ_{2} = \pm 1 - (\frac{R}{L} sin θ_{1})^{2}$ , et la première :

$x_{3} = R cos θ_{1} \pm L^{2} - (R sin θ_{1})^{2} .$

Mathématiquement, deux solutions existent (deux positions symétriques de la bielle). Comme $R < L$ , $L^{2} - (R sin θ_{1})^{2} \geq L^{2} - R^{2} > 0$ : la racine ne s'annule jamais, les deux branches ne se rejoignent pour aucune valeur de $θ_{1}$ , et le mécanisme, qui se déplace continûment, reste sur la branche où il a été monté. Sur la figure 2, $B$ est à droite de $O$ avec $cos θ_{2} > 0$ : c'est la branche « $+$ ». (La branche « $-$ » donnerait $x_{3} = R - L < 0$ en $θ_{1} = 0$ , c'est-à-dire un piston de l'autre côté de $O$ , incompatible avec la glissière de la figure.) Donc

100 % gratuit

La suite du corrigé est sur Adloun

Le corrigé rédigé en entier, question par question, et le tuteur pour poser des questions sur ce sujet.

Voir le corrigé complet, gratuitement

Inscription gratuite en 30 secondes (e-mail, nom d'utilisateur, mot de passe, classe ou profil), sans carte bancaire : arrivée directe sur le corrigé.

Toutes les parties de l'épreuve

Corrigé complet gratuit →