Corrigé CCINP 2026 Modélisation PSI — Partie I (Q10 à Q17) : Asservissement du débit : précision, correcteur PI, marges et rapidité

Sujet officiel du concours CCINP, session 2026, épreuve Modélisation PSI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Le débit moyen de la pompe est asservi ; le cahier des charges (table 1) vaut pour un échelon de consigne.

Exigence	Critère	Niveau
Précision	écart de position	$ϵ_{s} = 0$
	écart de position pour la perturbation	$ϵ_{p er t} = 0$
Rapidité	temps de réponse à $5%$	$t_{r 5%} < 1 s$
Stabilité	marge de gain	$M G > 10 dB$
	marge de phase	$M P > 4 5^{\circ}$
	amortissement	pas de dépassement

Table 1 — Cahier des charges de l'asservissement.

Constituants : adaptateur $K_{a}$ ; capteur de débit $K_{q} = 1 V \cdot s \cdot m^{- 3}$ ; correcteur $C (p)$ , d'abord $C (p) = 1$ ; variateur $K_{v} = 10$ ; moteur à courant continu $H (p) = \frac{K _{m}}{1 + τ _{m} p}$ avec $K_{m} = 10 rad \cdot s^{- 1} \cdot V^{- 1}$ , $τ_{m} = 1 s$ ; pompe $K_{p o m} = 9 \times 1 0^{- 6} m^{3} \cdot ra d^{- 1}$ ; les pertes de charge des conduites retranchent un débit $Q_{p c}$ (figure 4).

Figure 4 — Schéma-bloc de l'asservissement du débit.

Q10. Déterminer $K_{a}$ pour que l'écart $ε$ soit nul en régime permanent (quand $Q_{s} = Q_{c}$ ).
Q11. Mettre sous la forme $Q_{s} = H_{1} (p) Q_{c} + H_{2} (p) Q_{p c}$ , avec $H_{1}$ et $H_{2}$ sous forme canonique.
Q12. Le système non corrigé respecte-t-il les exigences de précision ?

On prend ensuite un correcteur PI : $C (p) = K_{p} \frac{1 + T _{i} p}{T _{i} p}$ .

Q13. Justifier que ce correcteur respecte l'exigence de précision.

Désormais $Q_{p c} = 0$ .

Q14. Régler $T_{i}$ pour compenser le pôle dominant ; donner $H_{B O} (p)$ et le gain $K_{B O}$ .
Q15. Rappeler les définitions de $M G$ et $M P$ ; vérifier les critères de stabilité.
Q16. Donner $H_{B F} (p)$ sous forme canonique ; justifier le critère d'amortissement.
Q17. Avec $K_{B O} = 9 \times 1 0^{- 4} K_{p}$ , trouver le $K_{p}$ minimal respectant le critère de rapidité.

Corrigé

Q10. L'écart est $ε = U_{c} - U_{m es} = K_{a} Q_{c} - K_{q} Q_{s}$ . On veut $ε = 0$ lorsque la sortie égale la consigne ( $Q_{s} = Q_{c}$ ), c'est-à-dire que l'adaptateur doit traduire la consigne en une tension comparable à la tension de mesure :

$K_{a} = K_{q} = 1 V \cdot s \cdot m^{- 3} .$

Q11. Notons $G (p) = K_{v} H (p) K_{p o m} = \frac{K _{v} K _{m} K _{p o m}}{1 + τ _{m} p}$ la chaîne directe hors correcteur ( $C = 1$ ). Le schéma-bloc donne

$Q_{s} = Q_{p} - Q_{p c} = G ε - Q_{p c}, ε = K_{a} Q_{c} - K_{q} Q_{s},$

d'où $Q_{s} (1 + K_{q} G) = K_{a} G Q_{c} - Q_{p c}$ . On pose $K_{0} = K_{q} K_{v} K_{m} K_{p o m} = 1 \times 10 \times 10 \times 9 \times 1 0^{- 6} = 9 \times 1 0^{- 4}$ (sans dimension : $V \cdot s \cdot m^{- 3} \cdot rad \cdot s^{- 1} \cdot V^{- 1} \cdot m^{3} \cdot ra d^{- 1}$ ). Avec $K_{a} = K_{q}$ :

$H_{1} (p) = \frac{K _{a} G}{1 + K _{q} G} = \frac{K _{0}}{1 + K _{0} + τ _{m} p} = \frac{K _{1}}{1 + τ _{1} p},$

avec $K_{1} = \frac{K _{0}}{1 + K _{0}} \approx 9 \times 1 0^{- 4}$ et $τ_{1} = \frac{τ _{m}}{1 + K _{0}} \approx 1 s$ ;

$H_{2} (p) = \frac{- 1}{1 + K _{q} G} = - \frac{1 + τ _{m} p}{1 + K _{0} + τ _{m} p} = - \frac{1}{1 + K _{0}} \cdot \frac{1 + τ _{m} p}{1 + τ _{1} p} .$

Q12. (« Non asservi » s'entend ici « non corrigé », $C (p) = 1$ .) D'après les expressions précédentes, l'écart vaut

$ε (p) = \frac{K _{a} Q _{c} ( p ) + K _{q} Q _{p c} ( p )}{1 + K _{q} G ( p )} .$

Pour des échelons $Q_{c} (p) = Q_{c 0} / p$ et $Q_{p c} (p) = Q_{p c 0} / p$ , le système du premier ordre étant stable, le théorème de la valeur finale donne

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