Corrigé CCINP 2026 Modélisation PSI — Partie II (Q38 à Q46) : Bilan de chlore actif, résolution d'Euler et consommation de l'électrolyseur

Sujet officiel du concours CCINP, session 2026, épreuve Modélisation PSI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

L'eau de la piscine, de volume $V = L S_{e}$ , est supposée uniforme ; on modélise l'évolution de $c (t) = [HClO] (t)$ sous l'effet de l'électrolyseur (intensité $I = 8 A$ lorsqu'il fonctionne) et de la photodégradation (Q37).

Q38. Exprimer la vitesse de production $v_{p}$ d'acide hypochloreux due à l'électrolyseur.
Q39. Par un bilan de matière, établir l'équation différentielle (1) vérifiée par $c$ .
Q40. La figure 9 donne l'intensité UV $I_{0} (t)$ en surface utilisée par le programme de la figure 10. Justifier son allure ; quel phénomène n'est pas pris en compte ?

Figure 9 — Intensité lumineuse UV au cours d'une journée d'été.


I = 8
F = 96500
c_0 = 3.3*10**-5
S_eau = 7*4
L = 1.5
V = 1.5*S_eau
v_p = I/(2*F)*3600
alpha_t = 2.3*10**4
alpha_e = 0.1
c = [c_0]
dt = T[1] - T[0]
K_d = S_eau*300*10**-9/(6.63*10**-34 * 3*10**8 * 6.02*10**23)*3600

for k in range(0, len(T)-1):

    c +=

Figure 10 — Extrait du programme Python (T : liste des instants, en heures).

Q41. Compléter la ligne 16 (méthode d'Euler), à l'aide de electrolyseur(t) (1 si l'appareil fonctionne, 0 sinon, figure 12) et phi(t) $= I_{0} (t)$ .
Q42. Le potentiel mesuré (figure 11) est-il conforme aux valeurs de Q26 ?

Figure 11 — Potentiel d'oxydoréduction de l'eau : relevés (points) et solution numérique (trait).

Q43. Justifier que $[Cl X^{-}]$ reste constante dans ce modèle ; pourquoi la vérifier chaque saison ?
Q44. Déterminer la durée journalière de fonctionnement de l'électrolyseur (figure 12).

Figure 12 — Fonctionnement de l'électrolyseur (1 : allumé, 0 : éteint).

Q45. Lire sur la figure 13 la tension d'électrolyse $U$ (résistance de la cellule négligée, $j = 4, 0 kA \cdot m^{- 2}$ , $S = 20 c m^{2}$ ) ; en déduire l'énergie électrique consommée par jour (kWh).

Figure 13 — Courbes densité de courant-potentiel sur une électrode de tungstène.

Q46. Pourquoi recommande-t-on de fermer le volet roulant en pleine journée hors baignade ?

Corrigé

Q38. Chaque molécule de dichlore produite à l'anode (Q20, $v_{Cl X_{2}} = I / (2 F)$ ) se dismute en une molécule de $HClO$ (Q24). Lorsque l'électrolyseur fonctionne,

$v_{p} = \frac{I}{2 F} = \frac{8}{2 \times 96 500} \approx 4, 1 \times 1 0^{- 5} mol \cdot s^{- 1} \approx 0, 15 mol \cdot h^{- 1},$

et $v_{p} = 0$ lorsqu'il est arrêté ; en notant $e (t) \in {0, 1}$ son état, la production est $e (t) I / (2 F)$ . (La répartition entre $HClO$ et $ClO X^{-}$ est prise en compte par $α_{t}$ , défini à partir de $[HClO]$ .)

Q39. Système : l'eau de la piscine, volume $V$ constant, uniforme. Bilan de quantité de matière de chlore actif entre $t$ et $t + d t$ : variation = production par l'électrolyseur $-$ disparition photochimique, soit $V d c = (e (t) v_{p} - v_{d}) d t$ . Avec Q34, Q36 et Q37 ( $I (0) = I_{0} (t)$ , $I (L) = I_{0} 1 0^{- (α_{e} + α_{t} c) L}$ ) :

$V \frac{d c}{d t} = e (t) \frac{I}{2 F} - K_{d} I_{0} (t) \frac{α _{t} c}{α _{e} + α _{t} c} (1 - 1 0^{- (α_{e} + α_{t} c) L}) . (1)$

Équation non linéaire en $c$ , à coefficients dépendant du temps : d'où la résolution numérique. Attention aux unités : avec $c$ en $mol \cdot L^{- 1}$ (imposé par l'unité de $α_{t}$ ), $V$ doit être exprimé en litres ( $V = 42 m^{3} = 4, 2 \times 1 0^{4} L$ ).

Q40. La figure 9 est nulle la nuit (avant $6 h$ et après $22 h$ ), croît après le lever du soleil, passe par un maximum d'environ $1, 3 W \cdot m^{- 2}$ vers $14 h$ (midi solaire en heure d'été) puis décroît symétriquement : l'intensité reçue augmente avec la hauteur du soleil, car le flux intercepté par unité de surface horizontale croît comme le sinus de cette hauteur et l'épaisseur d'atmosphère traversée, qui absorbe les UV (ozone), diminue. Cette courbe lisse correspond à un ciel parfaitement dégagé : la nébulosité (nuages) n'est pas prise en compte, pas plus que l'ombre portée sur le bassin ou la fermeture du volet. (Dans l'équation (1), la consommation de chlore par les baigneurs et les matières organiques est également ignorée.)

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