Corrigé CCINP 2026 Physique-chimie MP — Partie V (Q20 à Q29) : Conductivité d'une roche, énergie gravitationnelle, radioactivité et température interne de la Terre

Q20. En régime stationnaire et en l'absence de source, le flux thermique $\Phi$ est conservatif ; la résistance thermique d'un conducteur entre deux surfaces isothermes aux températures $T_A$ et $T_B$ est définie, par analogie avec la loi d'Ohm ($T\leftrightarrow V$, $\Phi \leftrightarrow I$), par $R_{\text{th}}=\frac{T_A-T_B}{\Phi }$ (en $\mathrm{K}\cdot {\mathrm{W}}^{-1}$). Pour un barreau de section $s$ et de longueur $l$, la loi de Fourier $j=-\lambda \mathrm{d}T/\mathrm{d}z$ avec $j=\Phi /s$ uniforme donne un profil affine, $T_A-T_B=\Phi l/(\lambda s)$, d'où

$$R_{\text{th}}=\frac{l}{\lambda s}.$$

Q21. Hypothèses : régime stationnaire, transfert unidimensionnel selon $z$ (pas de pertes latérales), pas de source. Le même flux $\Phi$ traverse alors chaque couche : les résistances sont en série. On suppose le laiton inférieur à la température $T_c$ en $z=0$ (bon contact avec l'eau qui circule).

• Laiton inférieur, de $T_c$ à $T_1$ : $T_c-T_1=\Phi \frac{l}{{\lambda }_{l}s}$.
• Contact 1, roche, contact 2, de $T_1$ à $T_2$ : $T_1-T_2=\Phi \left(\frac{e_1}{{\lambda }_{1}s}+\frac{d}{\lambda s}+\frac{e_2}{{\lambda }_{2}s}\right)$.

Le rapport élimine $\Phi$ et $s$ :

$$\frac{T_1-T_2}{T_c-T_1}=\frac{{\lambda }_l}{l}\left(\frac{d}{\lambda }+\frac{e_1}{{\lambda }_1}+\frac{e_2}{{\lambda }_2}\right).$$

Le laiton, de conductivité connue, sert de fluxmètre. Méthode : on répète la mesure avec des échantillons de la même roche d'épaisseurs $d$ différentes, en réalisant les contacts de la même manière ($e_1/{\lambda }_1$ et $e_2/{\lambda }_2$ inchangés). La grandeur mesurée $Y=(T_1-T_2)/(T_c-T_1)$ est une fonction affine de $d$ : $Y=\frac{{\lambda }_l}{l\lambda }d+\frac{{\lambda }_l}{l}\left(\frac{e_1}{{\lambda }_1}+\frac{e_2}{{\lambda }_2}\right)$. La pente $a$ de la droite de régression ne dépend pas des contacts, qui ne fixent que l'ordonnée à l'origine : $\lambda =\frac{{\lambda }_l}{la}$.

Q22. a) La boule de masse $m$, à symétrie sphérique, crée à l'extérieur le champ d'une masse ponctuelle placée en $O$ (partie I) ; amenée de l'infini (où l'énergie est nulle) à la distance $r$ de $O$, la masse $\mathrm{d}m$ a l'énergie potentielle

$$\mathrm{d}{E}_{pG}(r)=-\frac{Gm\mathrm{d}m}{r}.$$

b) Quand la boule a le rayon $r$, sa masse est $m(r)=\frac{4}{3}\pi \mu r^3$ ; on lui ajoute la coquille de masse $\mathrm{d}m=\mu 4\pi r^2\mathrm{d}r$, qui se place à la distance $r$ (l'épaisseur $\mathrm{d}r$ ne modifie la distance qu'au second ordre) :

$$\mathrm{d}{E}_{pG}=-G\frac{\frac{4}{3}\pi \mu r^3\cdot 4\pi \mu r^2\mathrm{d}r}{r}=-\frac{16}{3}{\pi }^{2}G{\mu }^2{r}^4\mathrm{d}r.$$

En sommant de $r=0$ à $R$ : $E_{pG}(R)=-\frac{16}{15}{\pi }^{2}G{\mu }^2{R}^5$. Avec $M=\frac{4}{3}\pi \mu R^3$, soit ${\mu }^2=\frac{9M^2}{16{\pi }^2{R}^6}$ :

$$E_{pG}(R)=-\frac{16}{15}{\pi }^{2}G\frac{9M^2}{16{\pi }^2{R}^6}{R}^5=-\frac{3}{5}\frac{G{M}^2}{R}.$$

C'est l'analogue exact de l'énergie électrostatique d'une boule uniformément chargée, $\frac{3}{5}{Q}^2/(4\pi {\epsilon }_{0}R)$, avec $1/(4\pi {\epsilon }_0)\leftrightarrow -G$. Signe : $E_{pG}<0$ traduit l'attraction ; l'état rassemblé est lié, il faudrait fournir $\frac{3}{5}G{M}^2/R$ pour disperser la matière à l'infini. Réciproquement, la formation de l'astre a libéré cette énergie.