Corrigé CCINP 2026 Physique-chimie MP — Partie VI (Q30 à Q33) : Champ magnétique terrestre : modèle du dipôle

Q30. Avec $\overrightarrow{r}=r{\overrightarrow{u}}_r$ et ${\overrightarrow{u}}_z=\cos \theta {\overrightarrow{u}}_r-\sin \theta {\overrightarrow{u}}_{\theta }$, on a $\overrightarrow{m}=-m\cos \theta {\overrightarrow{u}}_r+m\sin \theta {\overrightarrow{u}}_{\theta }$ et $\overrightarrow{m}\cdot \overrightarrow{r}=-mr\cos \theta$. Alors

$$\begin{array}{rl}3(\overrightarrow{m}\cdot \overrightarrow{r})\overrightarrow{r}-r^2\overrightarrow{m}& =r^2\left(-3m\cos \theta {\overrightarrow{u}}_r+m\cos \theta {\overrightarrow{u}}_r-m\sin \theta {\overrightarrow{u}}_{\theta }\right)\\ & =-m{r}^2\left(2\cos \theta {\overrightarrow{u}}_r+\sin \theta {\overrightarrow{u}}_{\theta }\right),\end{array}$$

d'où

$$B_r=-\frac{{\mu }_{0}m}{4\pi }\frac{2\cos \theta }{r^3}=-\frac{{\mu }_{0}m\cos \theta }{2\pi r^3},B_{\theta }=-\frac{{\mu }_{0}m\sin \theta }{4\pi r^3},B_{\phi }=0.$$

$B_{\phi }=0$ était attendu : tout plan méridien contient le dipôle et est un plan d'antisymétrie des courants qui le créent, donc $\overrightarrow{B}$ y est contenu. Lecture physique : dans l'hémisphère nord ($\theta <\pi /2$), $B_r<0$, le champ plonge vers le sol ; partout $B_{\theta }<0$, sa composante tangentielle est orientée vers les $\theta$ décroissants, c'est-à-dire vers le Nord géographique, là où pointe l'aiguille d'une boussole. Le pôle Nord géographique est donc proche d'un pôle sud magnétique, ce que traduit le signe $-$ de $\overrightarrow{m}$.