Corrigé CCINP 2026 Physique-chimie MPI — Partie I (Q1 à Q3) : Champ gravitationnel terrestre et anomalie due à un gisement de pétrole

La Terre est une boule homogène de centre $O$, de rayon $R_T=6,4\times 10^6\mathrm{m}$, de masse $M_T=6,0\times 10^{24}\mathrm{kg}$ et de masse volumique ${\mu }_T=5400\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^{-3}$ ; $G=6,7\times 10^{-11}\mathrm{N}\cdot {\mathrm{m}}^2\cdot \mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-2}$. Un gisement de pétrole est modélisé par une boule homogène de centre $C$, de rayon $r^{\prime }$ et de masse volumique ${\mu }_P=900\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^{-3}$. Le point $M$ est à la surface, sur la verticale $OCZ$, à la distance $CM=d$ ; ${\overrightarrow{u}}_z$ est le vecteur unitaire de cet axe, dirigé vers l'extérieur. On note $G_T(M){\overrightarrow{u}}_z$ le champ sans poche et $G_{Tp}(M){\overrightarrow{u}}_z$ le champ avec la poche.

{ Figure 1 — Présence de pétrole dans le sol terrestre.}

Q1. Donner le champ gravitationnel d'une masse ponctuelle et le champ électrostatique d'une charge ponctuelle ; en déduire les analogues de $q$ et de ${\epsilon }_0$ ; énoncer le théorème de Gauss gravitationnel.
Q2. Exprimer le champ gravitationnel ${\overrightarrow{\mathcal{G}}}_T(M)$ de la Terre en tout point.
Q3. Par superposition, exprimer $G_{Tp}(M)$ et $\epsilon =\frac{G_T(M)-G_{Tp}(M)}{G_T(M)}$ ; le champ est-il plus ou moins intense ? Estimer $\epsilon$ pour $r^{\prime }/d=1/2$, $r^{\prime }/R_T=10^{-3}/4$, ${\mu }_P/{\mu }_T=1/6$ et commenter (gravimètres : précision relative $10^{-8}$).