Corrigé CCINP 2026 Physique-chimie MPI — Partie II (Q4 à Q8) : Pesanteur, force d'inertie d'entraînement et aplatissement de la Terre

Sujet officiel du concours CCINP, session 2026, épreuve Physique-chimie MPI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Le référentiel géocentrique $R (O X Y Z)$ est galiléen ; le référentiel terrestre $R^{'}$ tourne uniformément à $Ω = Ω u_{z}$ autour de l'axe des pôles $O Z$ , $Ω = 7, 3 \times 1 0^{- 5} rad \cdot s^{- 1}$ . En coordonnées sphériques d'axe $O Z$ , $θ$ est la colatitude ; $H$ est le projeté orthogonal de $M$ sur l'axe des pôles. Le poids d'un point $M$ de masse $m$ est défini par $P = m g (M) = m (- G M_{T} \frac{u _{r}}{r ^{2}} + Ω^{2} H M)$ . Données de la partie I : $R_{T}$ , $M_{T}$ , $G$ .

{ Figure 2 — Référentiel géocentrique et référentiel terrestre.}

Q4. Justifier cette expression de $g$ , identifier les deux termes ; ordre de grandeur de $g$ au sol.
Q5. Justifier que la force de Coriolis est négligeable devant le poids pour un TGV à $100 m \cdot s^{- 1}$ .
Q6. Majorer le rapport terme d'entraînement / terme de gravitation au sol par $η (Ω, R_{T}, G, M_{T})$ ; ordre de grandeur, commentaire.
Q7. a) Énergie potentielle de gravitation $E_{pG}$ (nulle à l'infini). b) Établir $E_{p e} = - \frac{1}{2} m Ω^{2} H M^{2}$ (nulle en $r = 0$ ). c) En déduire $E_{pp} (M)$ en coordonnées sphériques.
Q8. L'équipotentielle $(Σ)$ passe par le pôle Nord $N$ ( $O N = r_{n}$ ). Montrer que sa trace méridienne vérifie $r (θ) \approx r_{n} (1 + ε sin^{2} θ)$ , exprimer $ε (R_{T}, r_{n}, η)$ , tracer l'allure de $r (θ)$ et exprimer l'aplatissement $ε^{'} = (r_{e} - r_{n}) / r_{n}$ .

Corrigé

Q4. Système : un point $M$ de masse $m$ suspendu à un fil (fil à plomb), immobile dans le référentiel terrestre $R^{'}$ . Référentiel : $R^{'}$ , non galiléen, en rotation uniforme autour d'un axe fixe du référentiel géocentrique galiléen. Forces : attraction gravitationnelle de la Terre $- G M_{T} m u_{r} / r^{2}$ (Q2, $M$ extérieur à la Terre ou à sa surface), tension $T$ du fil, force d'inertie d'entraînement $f_{i e} = - m a_{e} (M) = m Ω^{2} H M$ (accélération d'entraînement centripète $- Ω^{2} H M$ du point coïncident, pour une rotation uniforme autour de l'axe des pôles) ; la force de Coriolis $- 2 m Ω \land v^{'}$ est nulle puisque $v^{'} = 0$ .

Le principe fondamental de la dynamique dans $R^{'}$ à l'équilibre donne $0 = - G M_{T} m u_{r} / r^{2} + m Ω^{2} H M + T$ . Le poids est par définition l'opposé de la tension du fil qui retient le point au repos dans $R^{'}$ :

$P = - T = m gravitation - G M_{T} \frac{u _{r}}{r ^{2}} + inertie d’entra ı ˆ nement Ω^{2} H M .$

Le premier terme est le champ gravitationnel terrestre, le second la force d'inertie d'entraînement (axifuge) par unité de masse. Ordre de grandeur : $g \approx G M_{T} / R_{T}^{2} \approx 9, 8 m \cdot s^{- 2}$ , soit $g \sim 10 m \cdot s^{- 2}$ (le terme d'entraînement ne le modifie que de quelques millièmes, Q6).

Q5. La force de Coriolis vaut $f_{i c} = - 2 m Ω \land v^{'}$ , de norme au plus $2 m Ω v^{'}$ . Pour le TGV :

$\frac{f _{i c}}{m g} ⩽ \frac{2Ω v ^{'}}{g} = \frac{2 \times 7 , 3 \times 1 0 ^{- 5} \times 100}{9 , 8} \approx 1, 5 \times 1 0^{- 3} .$

La force de Coriolis ne dépasse pas $1, 5$ millième du poids, même à $360 km \cdot h^{- 1}$ : on la néglige (elle ne se manifeste que sur des mouvements longs, pendule de Foucault, vents, courants marins).

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