Corrigé CCINP 2026 Physique-chimie MPI — Partie IV.1 (Q11 à Q12) : Composition d'un ciment : réactions de formation et formules de Bogue en Python

Données de la partie IV : $M(\mathrm{C})=12$, $M(\mathrm{O})=16$, $M(\mathrm{Si})=28$, $M(\mathrm{Al})=27$, $M(\mathrm{Ca})=40$, $M(\mathrm{Fe})=56\mathrm{g}\cdot \mathrm{mo}{\mathrm{l}}^{-1}$. Vers $1450^{\circ }\mathrm{C}$, la chaux $\mathrm{CaO}$ (issue du calcaire $\mathrm{CaCO}{}_3$) réagit avec les oxydes $\mathrm{SiO}{}_2$, $\mathrm{Al}{}_2\mathrm{O}{}_3$, $\mathrm{Fe}{}_2\mathrm{O}{}_3$ de l'argile. Oxydes (masses molaires $M_1$ à $M_4$ : 56, 60, 102, 160 $\mathrm{g}\cdot \mathrm{mo}{\mathrm{l}}^{-1}$ ; pourcentages massiques $p_1$ à $p_4$ dans le mélange). Composants du ciment (masses molaires $M_5$ à $M_8$ : 228, 172, 270, 486 ; pourcentages massiques $p_5$ à $p_8$) : A $=\mathrm{Ca}{}_3\mathrm{SiO}{}_5$ ($3\mathrm{CaO}\cdot \mathrm{SiO}{}_2$), B $=\mathrm{Ca}{}_2\mathrm{SiO}{}_4$ ($2\mathrm{CaO}\cdot \mathrm{SiO}{}_2$), C $=\mathrm{Ca}{}_3\mathrm{Al}{}_2\mathrm{O}{}_6$ ($3\mathrm{CaO}\cdot \mathrm{Al}{}_2\mathrm{O}{}_3$), D $=\mathrm{Ca}{}_4\mathrm{Al}{}_2\mathrm{Fe}{}_2\mathrm{O}{}_{10}$ ($4\mathrm{CaO}\cdot \mathrm{Al}{}_2\mathrm{O}{}_3\cdot \mathrm{Fe}{}_2\mathrm{O}{}_3$). Hypothèses de Bogue : tout $\mathrm{Fe}{}_2\mathrm{O}{}_3$ est dans D (H1), l'alumine restante dans C (H2), toute la silice dans A et B (H3), toute la chaux dans A, B, C, D (H4). On note oxy $=(p_1,p_2,p_3,p_4)$, cim $=(p_5,p_6,p_7,p_8)$ et gob la matrice telle que oxy = gob * cim ; le script du sujet (lignes 1 à 4 et 6 à 8) définit $M_1,\dots ,M_8$ (avec $M_4=159$), oxy = [62, 24, 9, 5], inverse gob et affiche cim.

Q11. Écrire les quatre réactions de formation de A, B, C, D à partir des oxydes.
Q12. Compléter la ligne 5 : la matrice gob (éléments ${\beta }_{ij}$ en fonction des $M_i$).