Corrigé CCINP 2026 Physique-chimie MPI — Partie V.2 (Q17 à Q24) : Énergie gravitationnelle, radioactivité (script Python) et température interne de la Terre

Q17. a) La boule de masse $m$, à symétrie sphérique, crée à l'extérieur le champ d'une masse ponctuelle placée en $O$ (partie I) ; amenée de l'infini (où l'énergie est nulle) à la distance $r$ de $O$, la masse $\mathrm{d}m$ a l'énergie potentielle

$$\mathrm{d}{E}_{pG}(r)=-\frac{Gm\mathrm{d}m}{r}.$$

C'est l'expression de Q7a, où la masse attirante $M_T$ est remplacée par $m$ et la masse attirée par $\mathrm{d}m$ (le jury signale qu'il s'agissait de réécrire ce résultat).

b) Quand la boule a le rayon $r$, sa masse est $m(r)=\frac{4}{3}\pi \mu r^3$ ; on lui ajoute la coquille de masse $\mathrm{d}m=\mu 4\pi r^2\mathrm{d}r$, qui se place à la distance $r$ (l'épaisseur $\mathrm{d}r$ ne modifie la distance qu'au second ordre) :

$$\mathrm{d}{E}_{pG}=-G\frac{\frac{4}{3}\pi \mu r^3\cdot 4\pi \mu r^2\mathrm{d}r}{r}=-\frac{16}{3}{\pi }^{2}G{\mu }^2{r}^4\mathrm{d}r.$$

En sommant de $r=0$ à $R$ : $E_{pG}(R)=-\frac{16}{15}{\pi }^{2}G{\mu }^2{R}^5$. Avec $M=\frac{4}{3}\pi \mu R^3$, soit ${\mu }^2=\frac{9M^2}{16{\pi }^2{R}^6}$ :

$$E_{pG}(R)=-\frac{16}{15}{\pi }^{2}G\frac{9M^2}{16{\pi }^2{R}^6}{R}^5=-\frac{3}{5}\frac{G{M}^2}{R}.$$

C'est l'analogue exact de l'énergie électrostatique d'une boule uniformément chargée, $\frac{3}{5}{Q}^2/(4\pi {\epsilon }_{0}R)$, avec $1/(4\pi {\epsilon }_0)\leftrightarrow -G$. Signe : $E_{pG}<0$ traduit l'attraction ; l'état rassemblé est lié, il faudrait fournir $\frac{3}{5}G{M}^2/R$ pour disperser la matière à l'infini. Réciproquement, la formation de l'astre a libéré cette énergie.

Q18. Système : la matière de la Terre ; premier principe, sans échange avec l'extérieur (hypothèse de l'énoncé : toute l'énergie libérée reste sous forme thermique). La diminution d'énergie potentielle, $\frac{3}{5}G{M}_T^2/R_T$, est convertie en énergie interne $M_{T}C(T_{\text{eq}}-0)$ (phases condensées, $C$ constante) :

$$T_{\text{eq}}=\frac{3G{M}_T}{5R_{T}C}.$$

Avec l'annexe : ${\log }_{10}{T}_{\text{eq}}={\log }_{10}0,6-10,17+24,78-6,81-3,00\approx -0,22+4,80=4,58$, soit

$$T_{\text{eq}}\approx 4\times 10^4\mathrm{K}.$$

Commentaire : c'est bien plus que la température actuelle du centre de la Terre (de l'ordre de $5000\mathrm{K}$). L'énergie d'accrétion suffisait largement à fondre la Terre primitive, mais une grande partie a été rayonnée vers l'espace pendant la formation, qui a duré des millions d'années ; l'hypothèse d'une conversion totale et sans perte ne donne qu'un majorant.

Q19. L'équation $\mathrm{d}{N}_i/\mathrm{d}t=-(\ln 2/{\tau }_i)N_i$ est linéaire du premier ordre ; avec $N_i(0)=N_{i0}$ :

$$N_i(t)=N_{i0}\exp \left(-\frac{\ln 2}{{\tau }_i}t\right)=N_{i0}{2}^{-t/{\tau }_i},$$

et l'on vérifie que $N_i({\tau }_i)=N_{i0}/2$ : ${\tau }_i$ est bien la demi-vie.

Q20. Par unité de volume de roche, le nombre de désintégrations par unité de temps est $-\mathrm{d}{N}_i/\mathrm{d}t=(\ln 2/{\tau }_i)N_i$, chacune libérant ${\epsilon }_i$ : $p_{v,i}(t)={\epsilon }_i\frac{\ln 2}{{\tau }_i}{N}_i(t)$. Un volume unité de roche a la masse $\mu$, dont la masse $x_i\mu$ de l'isotope, soit $N_{i0}=x_i\mu N_A/M_i$ noyaux aujourd'hui ($t=0$). D'où

$$p_{v,i}(t)=\frac{{\epsilon }_i{x}_i\mu N_A\ln 2}{M_i{\tau }_i}\exp \left(-\frac{\ln 2}{{\tau }_i}t\right),p_v(t)=\sum _{i=1}^3{p}_{v,i}(t),$$