Corrigé CCINP 2026 Physique-chimie MPI — Partie VI (Q25 à Q29) : Bilan radiatif de la surface terrestre : Poynting, Wien, Stefan, déséquilibre énergétique

Sujet officiel du concours CCINP, session 2026, épreuve Physique-chimie MPI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Analyse documentaire. La figure 7 donne les flux énergétiques moyens (en $W \cdot m^{- 2}$ , par mètre carré de surface terrestre) échangés entre le Soleil, l'atmosphère et le sol ; en haut de l'atmosphère, le rayonnement solaire vaut en moyenne $φ_{S} = 341 W \cdot m^{- 2}$ . $P_{S}$ est la puissance rayonnée par la surface du Soleil, $D = 1, 5 \times 1 0^{11} m$ la distance Soleil--Terre. Loi de Wien : $λ_{m a x} T = C_{W}$ ; loi de Stefan : $φ = σ T^{4}$ . Loin du Soleil, assimilé à son centre $C$ , on pose $C M = r u_{r}$ ; le vecteur de Poynting est radial, $R = R (r, t) u_{r}$ , et $u_{e m} (M, t)$ est la densité volumique d'énergie électromagnétique. Le Soleil, de surface $S_{S}$ , est assimilé à un corps noir dont le maximum d'émission est à $λ_{S} = 0, 52 μ m$ . Données générales : $R_{T}$ , $M_{T}$ , $C \approx 1 0^{3} J \cdot k g^{- 1} \cdot K^{- 1}$ .

{ Figure 7 — Flux énergétiques échangés entre le sol terrestre, le Soleil et l'atmosphère, en $W \cdot m^{- 2}$ (d'après Trenberth et al., 2009). Orange : rayonnement solaire ; rouge : infrarouge ; tirets bleus : transferts non radiatifs.}

Q25. Par l'analogie $(R, u_{e m}) \leftrightarrow (j, μ C T)$ , écrire la relation analogue à celle de Q23 ; en régime permanent, relier la puissance $P_{e m} (r = D)$ rayonnée à travers la sphère de rayon $D$ à $P_{S}$ .
Q26. Exprimer la puissance $P_{T}$ reçue par toute la face supérieure de l'atmosphère terrestre en fonction de $P_{S}$ .
Q27. Montrer que $P_{S} = σ S_{S} (C_{W} / λ_{S})^{4}$ (le sujet donne $C_{W} \approx 0, 03 m \cdot K$ ).
Q28. Estimer $P_{S}$ à l'aide de la figure 7 ; par un bilan, estimer la puissance surfacique nette algébrique $φ_{tot}$ reçue par la Terre seule ; commenter.
Q29. Exprimer la variation $Δ T$ de la température au niveau du sol pendant une durée $τ$ ; application numérique pour $τ = 10$ ans.

Corrigé

Q25. L'analogie. Dans le bilan de Q23, $μ C T$ est une énergie volumique (celle que stocke la matière, à une constante près) et $j$ la densité de flux qui la transporte ; $u_{e m}$ et $R$ jouent exactement ces rôles pour l'énergie électromagnétique. Le terme de source $p_{v}^{'}$ (puissance volumique cédée par la matière à l'énergie étudiée) a pour analogue la puissance volumique cédée par la matière au champ, $- _{e ˊ l} \cdot E$ (courants électriques $_{e ˊ l}$ ). Pour une coquille sphérique de centre $C$ comprise entre $r$ et $r + d r$ , pendant $d t$ :

$4 π r^{2} \frac{\partial u _{e m}}{\partial t} d t d r = - d (R 4 π r^{2}) d t - _{e ˊ l} \cdot E 4 π r^{2} d r d t,$

soit, en divisant par $4 π r^{2} d r d t$ et puisque $div (R u_{r}) = \frac{1}{r ^{2}} \frac{\partial ( r ^{2} R )}{\partial r}$ ,

$\frac{\partial u _{e m}}{\partial t} + div R = - _{e ˊ l} \cdot E,$

c'est l'équation locale de Poynting. Dans le vide interstellaire il n'y a ni charge ni courant : le terme de source est nul et $\frac{\partial u _{e m}}{\partial t} = - \frac{1}{r ^{2}} \frac{\partial ( r ^{2} R )}{\partial r}$ .

Régime permanent. $\partial u_{e m} / \partial t = 0$ , donc $r^{2} R (r)$ ne dépend pas de $r$ . La puissance rayonnée à travers la sphère de centre $C$ et de rayon $r$ (flux de $R$ , radial et uniforme sur la sphère) vaut $P_{e m} (r) = 4 π r^{2} R (r)$ : elle est la même pour toutes les sphères entourant le Soleil, en particulier pour celle qui colle à sa surface, où elle vaut $P_{S}$ . D'où

$P_{e m} (r = D) = 4 π D^{2} R (D) = P_{S}, R (D) = \frac{P _{S}}{4 π D ^{2}} .$

Le vide n'absorbe rien : toute l'énergie émise par le Soleil traverse chaque sphère, et le flux surfacique décroît en $1/ r^{2}$ .

Q26. La Terre est à $D ≫ R_{T}$ : les rayons solaires qui l'atteignent sont parallèles et de flux surfacique $R (D)$ . L'atmosphère, d'épaisseur négligeable devant $R_{T}$ , intercepte ce faisceau sur la section droite de la Terre, un disque d'aire $π R_{T}^{2}$ (et non sur la demi-sphère éclairée : le flux arrive obliquement ailleurs qu'au point subsolaire). Avec Q25 :

$P_{T} = π R_{T}^{2} R (D) = \frac{R _{T}^{2}}{4 D ^{2}} P_{S} .$

Répartie sur toute la surface $4 π R_{T}^{2}$ de la sphère, cette puissance donne le flux moyen en haut de l'atmosphère, $φ_{S} = \frac{P _{T}}{4 π R _{T}^{2}} = \frac{R ( D )}{4} = \frac{P _{S}}{16 π D ^{2}}$ : c'est la valeur $341 W \cdot m^{- 2}$ de la figure 7, le quart de la « constante solaire » $R (D) \approx 1, 36 \times 1 0^{3} W \cdot m^{- 2}$ (le facteur 4 est le rapport de l'aire de la sphère à celle du disque).

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