Corrigé CCINP 2026 Physique-chimie PSI — Partie I (Q1 à Q8) : Dopage du silicium par diffusion du phosphore : loi de Fick, profil gaussien, mesure de D

Sujet officiel du concours CCINP, session 2026, épreuve Physique-chimie PSI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Des atomes de phosphore diffusent dans un substrat de silicium (figure 1), uniquement selon $(O x)$ . On note $C (x, t)$ la concentration atomique en phosphore (nombre d'atomes par unité de volume) au point d'abscisse $x$ à l'instant $t$ . À $t = 0$ , tous les atomes, supposés ponctuels, sont dans le plan $x = 0$ , avec la densité surfacique $σ$ ; ailleurs la concentration est nulle. Il n'y a ni création ni disparition d'atomes de phosphore.

{Figure 1 — Substrat de silicium}

Q1. Loi de Fick liant $ (x, t) = j (x, t) e_{x}$ et $C (x, t)$ (coefficient de diffusion $D$ ) ; unités.
Q2. Par un bilan sur un système à préciser, relation aux dérivées partielles entre $j$ et $C$ .
Q3. En déduire l'équation de diffusion vérifiée par $C (x, t)$ .
Q4. Par analyse dimensionnelle, relier la longueur caractéristique $L_{c}$ à la durée $τ_{c}$ du phénomène.

On admet $C (x, t) = \frac{α}{t} exp (- \frac{x ^{2}}{4 D t})$ ; on donne $\int_{0}^{+ \infty} e^{- u^{2}} d u = \frac{π}{2}$ et $e \approx 2, 7$ .

Q5. Tous les atomes initialement en $x = 0$ ont diffusé dans le substrat pour $t > 0$ : exprimer $α$ en fonction de $σ$ et $D$ .
Q6. La profondeur de diffusion $p$ est définie par $C (p, t) = C (0, t) / e$ . Exprimer $p$ en fonction de $D$ et $t$ ; cohérence avec Q4 ?

La figure 2 donne $C (x, t)$ en fonction de $x$ pour $t = 1 h$ , $2 h$ et $5 h$ .

{Figure 2 — Concentration en atomes de phosphore en fonction de $x$ }

Q7. Identifier les courbes correspondant à $t = 1 h$ , $2 h$ et $5 h$ .
Q8. Évaluer $D$ à l'aide de la courbe c, dont l'origine est $C (0, t) \approx 270 μ m^{- 3}$ .

Corrigé

Q1. La loi de Fick (loi phénoménologique linéaire) relie le vecteur densité de courant de particules au gradient de concentration :

$ = - D grad C ⟹ j (x, t) = - D \frac{\partial C}{\partial x} (x, t)$

Le signe $-$ traduit que les atomes migrent des zones concentrées vers les zones diluées. Unités SI :

$C$ : nombre d'atomes par unité de volume, en $m^{- 3}$ ;
$j$ : nombre d'atomes traversant l'unité de surface par unité de temps, en $m^{- 2} \cdot s^{- 1}$ ;
$D$ : $[D] = [j] / [\partial C / \partial x] = m^{- 2} \cdot s^{- 1} / m^{- 4}$ , soit $m^{2} \cdot s^{- 1}$ .

Ce que le correcteur attend : $j$ est un flux de particules surfacique ( $m^{- 2} \cdot s^{- 1}$ ), pas un flux molaire ni une densité de courant électrique.

Q2. Système : les atomes de phosphore contenus dans la tranche fixe de substrat comprise entre $x$ et $x + d x$ , de section $S$ (volume $S d x$ ). Il en contient $d N (t) = C (x, t) S d x$ .

Bilan entre $t$ et $t + d t$ (pas de création ni de disparition) : la variation du nombre d'atomes est égale au nombre entrant en $x$ moins le nombre sortant en $x + d x$ :

$[C (x, t + d t) - C (x, t)] S d x = [j (x, t) - j (x + d x, t)] S d t .$

Au premier ordre, $\frac{\partial C}{\partial t} d t S d x = - \frac{\partial j}{\partial x} d x S d t$ , d'où l'équation locale de conservation

$\frac{\partial C}{\partial t} + \frac{\partial j}{\partial x} = 0$

Q3. En reportant la loi de Fick (Q1) dans la conservation (Q2), avec $D$ uniforme :

$\frac{\partial C}{\partial t} = - \frac{\partial}{\partial x} (- D \frac{\partial C}{\partial x}) ⟹ \frac{\partial C}{\partial t} = D \frac{\partial ^{2} C}{\partial x ^{2}}$

C'est l'équation de la diffusion (deuxième loi de Fick) : premier ordre en temps, second ordre en espace, donc irréversible.

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