Corrigé CCINP 2026 Physique-chimie PSI — Partie III.1 (Q13 à Q15) : Circuit RLC : équation canonique, réponses indicielles, régime forcé

Sujet officiel du concours CCINP, session 2026, épreuve Physique-chimie PSI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Circuit de la figure 3 : bobine d'inductance pure $L$ en série, puis condensateur de capacité $C$ et conducteur ohmique de résistance $R$ en parallèle en sortie ; $U_{e}$ tension d'entrée, $U_{s}$ tension de sortie.

{Figure 3 — Circuit $R L C$ }

Q13. Établir l'équation différentielle reliant $U_{s}$ et $U_{e}$ sous la forme $\frac{d ^{2} U _{s}}{d t ^{2}} + \frac{ω _{0}}{Q} \frac{d U _{s}}{d t} + ω_{0}^{2} U_{s} = ω_{0}^{2} U_{e}$ ; exprimer $Q$ et $ω_{0}$ en fonction de $R$ , $L$ , $C$ .

Figures 4a, 4b, 4c : réponses à un échelon unitaire de trois circuits de même $ω_{0}$ , avec $Q = 0, 2$ ; $Q = 0, 5$ ; $Q = 3$ (dans le désordre).

{Figure 4a — Réponse indicielle a}

{Figure 4b — Réponse indicielle b}

{Figure 4c — Réponse indicielle c}

Q14. Attribuer à chacune des réponses a, b, c son facteur de qualité (justification phrasée ou analytique).

Figure 5 : réponse d'un circuit identique (facteur $Q$ , pulsation propre $ω_{0}$ inconnus) à une tension d'entrée sinusoïdale d'amplitude $1 V$ , en régime forcé.

{Figure 5 — Tensions d'entrée et de sortie en régime sinusoïdal forcé}

Q15. (Question ouverte.) Déterminer numériquement $Q$ et $ω_{0}$ du circuit de la figure 5.

Corrigé

Q13. Notons $i$ l'intensité dans la bobine (orientée vers la sortie), $i_{C}$ et $i_{R}$ celles dans le condensateur et le résistor (orientées vers le bas). La sortie est à vide (aucun courant prélevé). Dans l'ARQS :

loi des nœuds : $i = i_{C} + i_{R} = C \frac{d U _{s}}{d t} + \frac{U _{s}}{R}$ ;
loi des mailles : $U_{e} = L \frac{d i}{d t} + U_{s}$ .

En dérivant la première relation et en la reportant dans la seconde :

$U_{e} = L C \frac{d ^{2} U _{s}}{d t ^{2}} + \frac{L}{R} \frac{d U _{s}}{d t} + U_{s} ⟹ \frac{d ^{2} U _{s}}{d t ^{2}} + \frac{1}{R C} \frac{d U _{s}}{d t} + \frac{1}{L C} U_{s} = \frac{1}{L C} U_{e} .$

Par identification avec la forme canonique : $ω_{0}^{2} = \frac{1}{L C}$ et $\frac{ω _{0}}{Q} = \frac{1}{R C}$ , d'où

$ω_{0} = \frac{1}{L C} Q = R C ω_{0} = R \frac{C}{L}$

Vérifications : $L / C$ est homogène à une résistance, donc $Q$ est sans dimension ; plus $R$ est grand, moins le résistor (en parallèle) dérive de courant et moins le circuit est amorti : $Q$ croît avec $R$ , à l'inverse du $R L C$ série.

Q14. L'équation caractéristique $r^{2} + \frac{ω _{0}}{Q} r + ω_{0}^{2} = 0$ a pour discriminant $Δ = ω_{0}^{2} (\frac{1}{Q ^{2}} - 4)$ . Le régime libre dépend donc de la position de $Q$ par rapport à $\frac{1}{2}$ :

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