Corrigé CCINP 2026 Physique-chimie PSI — Partie III.2 (Q16 à Q24) : Hacheur parallèle (élévateur) : rapport cyclique, dimensionnement de L et de C

Sujet officiel du concours CCINP, session 2026, épreuve Physique-chimie PSI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Une batterie, source de tension parfaite $U = 12 V$ , alimente un composant modélisé par la résistance $R$ sous une tension $e (t)$ de valeur moyenne $E = 30 V$ , parcouru par un courant $i_{R} (t)$ de valeur moyenne $I_{R} = 5 A$ , grâce au hacheur de la figure 6 (interrupteurs $K_{1}$ et $K_{2}$ idéaux, rapport cyclique $α$ , période $T = 50 μ s$ ). $K_{1}$ est fermé sur $[0, α T]$ et ouvert sur $[α T, T]$ . On pose $τ = R C ≫ T$ .

{Figure 6 — Hacheur simple}

Cahier des charges : l'ondulation $Δ I_{1} = I_{1 m a x} - I_{1 m i n}$ du courant d'entrée ne doit pas dépasser $10%$ de sa valeur moyenne $I_{1}$ ; l'ondulation $Δ E = E_{m a x} - E_{m i n}$ de $e (t)$ ne doit pas dépasser $Δ E_{m a x} = 100 mV$ .

Q16. Au regard des règles d'interconnexion des sources et du cahier des charges, fonction(s) de l'inductance $L$ .
Q17. Rôle du condensateur $C$ .

Dans un premier temps, $e (t) = E$ constante.

Q18. Équations différentielles vérifiées par $i_{1} (t)$ sur $[0, α T]$ et sur $[α T, T]$ .
Q19. Relation entre $U$ , $E$ et $α$ ; valeur de $α$ .
Q20. Allure de $i_{1} (t)$ .
Q21. Par un argument énergétique, exprimer $I_{1}$ en fonction de $I_{R}$ et $α$ .
Q22. Expression (en fonction de $U$ , $α$ , $T$ , $I_{R}$ ) et valeur de l'inductance minimale $L_{m i n}$ .

Dans un second temps, $e (t)$ n'est plus supposée constante.

Q23. Équation différentielle vérifiée par la tension $u_{c} (t)$ aux bornes du condensateur quand $K_{1}$ est fermé ; en déduire $u_{c} (t)$ sur $[0, α T]$ en fonction de $E_{m a x}$ et $τ$ .
Q24. Moyennant les approximations utiles, exprimer $C_{m i n}$ en fonction de $E$ , $α$ , $T$ , $R$ et $Δ E_{m a x}$ .

Corrigé

Q16. Règles d'interconnexion. On ne relie jamais directement deux sources de même nature : on ne court-circuite pas une source de tension et on ne met pas en parallèle deux sources de tension de valeurs différentes ; on n'ouvre jamais une source de courant. Une cellule de commutation doit donc relier une source de tension à une source de courant.

Ici, la batterie est une source de tension, et la sortie (condensateur en parallèle sur $R$ ) en est une aussi. Sans bobine, la fermeture de $K_{1}$ court-circuiterait la batterie, et la conduction de $K_{2}$ mettrait en parallèle la batterie ( $12 V$ ) et le condensateur ( $30 V$ ). L'inductance $L$ , placée en série avec la batterie, en fait une source de courant : $i_{1}$ ne peut pas subir de discontinuité (l'énergie $\frac{1}{2} L i_{1}^{2}$ est continue).

Elle assure en outre deux fonctions liées au cahier des charges :

stockage et transfert d'énergie : elle emmagasine de l'énergie magnétique quand $K_{1}$ est fermé et la restitue à la charge quand $K_{2}$ conduit, ce qui permet d'obtenir $E > U$ (hacheur élévateur, ou parallèle) ;
lissage du courant d'entrée : sa valeur fixe les pentes de $i_{1} (t)$ , donc l'ondulation $Δ I_{1}$ , que l'on doit limiter à $10%$ de $I_{1}$ (Q22).

Q17. Le condensateur fait de la sortie une source de tension ( $e = u_{c}$ est continue), ce qu'exigent les règles d'interconnexion face à la source de courant d'entrée. C'est surtout un filtre de sortie : il se charge quand $K_{2}$ conduit et alimente seul la résistance pendant que $K_{2}$ est bloqué ; sa capacité fixe donc l'ondulation $Δ E$ de la tension de sortie, qui doit rester inférieure à $100 mV$ (Q24).

Q18. On suppose la conduction continue ( $i_{1} > 0$ en permanence, ce que garantit une ondulation de $10%$ ).

Sur $[0, α T]$ : $K_{1}$ fermé, le point commun à $L$ , $K_{1}$ et $K_{2}$ est à la masse ; la diode $K_{2}$ est bloquée (tension $0 - e < 0$ à ses bornes). La loi des mailles dans la maille batterie--bobine-- $K_{1}$ donne

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