Corrigé CCINP 2026 Physique-chimie PSI — Partie IV (Q25 à Q36) : Blindage électromagnétique : effet de peau et bilan de puissance dans un conducteur

Q25. Dans le conducteur (charge volumique nulle, ${\epsilon }_0$ et ${\mu }_0$ du vide) :

$$\begin{array}{rlrl}& \text{Maxwell-Gauss :}& & \mathrm{div}\overrightarrow{E}=\frac{\rho }{{\epsilon }_0}=0,\\ & \text{Maxwell-flux :}& & \mathrm{div}\overrightarrow{B}=0,\\ & \text{Maxwell-Faraday :}& & \overrightarrow{\mathrm{rot}}\overrightarrow{E}=-\frac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t},\\ & \text{Maxwell-Ampeˋre :}& & \overrightarrow{\mathrm{rot}}\overrightarrow{B}={\mu }_0\overrightarrow{ȷ}+{\mu }_0{\epsilon }_0\frac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t},\end{array}$$

et la loi d'Ohm locale $\overrightarrow{ȷ}=\gamma \overrightarrow{E}$. Ce que le correcteur attend : utiliser la neutralité du conducteur ($\rho =0$), indispensable en Q27.

Q26. En régime sinusoïdal, le rapport des normes du courant de déplacement et du courant de conduction vaut

$$\frac{\Vert {\epsilon }_0\partial \overrightarrow{E}/\partial t\Vert }{\Vert \gamma \overrightarrow{E}\Vert }=\frac{{\epsilon }_0\omega }{\gamma }={\epsilon }_0\omega \rho .$$

Pour le métal le moins conducteur du tableau (zinc, $\rho =61\times 10^{-9}\Omega \cdot \mathrm{m}$) et la fréquence la plus haute ($f=10\mathrm{GHz}$, $\omega \approx 6,3\times 10^{10}\mathrm{rad}\cdot {\mathrm{s}}^{-1}$) :

$$\frac{{\epsilon }_0\omega }{\gamma }\approx 8,85\times 10^{-12}\times 6,3\times 10^{10}\times 61\times 10^{-9}\approx 3\times 10^{-8}\ll 1.$$

Le courant de déplacement est donc négligeable devant le courant de conduction pour tous ces métaux et toutes les fréquences considérées. L'équation de Maxwell-Ampère se simplifie en

$$\boxed{\overrightarrow{\mathrm{rot}}\overrightarrow{B}={\mu }_0\overrightarrow{ȷ}={\mu }_0\gamma \overrightarrow{E}}$$

Q27. On prend le rotationnel de Maxwell-Faraday, en permutant dérivées spatiales et temporelle :

$$\overrightarrow{\mathrm{rot}}\left(\overrightarrow{\mathrm{rot}}\overrightarrow{E}\right)=-\frac{\partial }{\partial t}\overrightarrow{\mathrm{rot}}\overrightarrow{B}=-{\mu }_0\gamma \frac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}.$$

Avec la formule d'analyse vectorielle fournie et $\mathrm{div}\overrightarrow{E}=0$ (Q25) :

$$\overrightarrow{\mathrm{rot}}\left(\overrightarrow{\mathrm{rot}}\overrightarrow{E}\right)=\overrightarrow{\mathrm{grad}}\left(\mathrm{div}\overrightarrow{E}\right)-\Delta \overrightarrow{E}=-\Delta \overrightarrow{E}.$$

D'où

$$\boxed{\Delta \overrightarrow{E}-{\mu }_0\gamma \frac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}=\overrightarrow{0}}\text{soit}\boxed{\alpha ={\mu }_0\gamma }$$

Q28. L'équation impose $[\alpha ]=[\Delta \overrightarrow{E}]/[\partial \overrightarrow{E}/\partial t]=\frac{{\mathrm{m}}^{-2}}{{\mathrm{s}}^{-1}}$ : $\alpha$ s'exprime en $\mathrm{s}\cdot {\mathrm{m}}^{-2}$. Vérification sur ${\mu }_0\gamma$ : $\mathrm{H}\cdot {\mathrm{m}}^{-1}\times \mathrm{S}\cdot {\mathrm{m}}^{-1}=(\Omega \cdot \mathrm{s}){\Omega }^{-1}{\mathrm{m}}^{-2}=\mathrm{s}\cdot {\mathrm{m}}^{-2}$.

C'est une équation de diffusion (premier ordre en temps, second ordre en espace), et non une équation de d'Alembert : $1/\alpha =1/({\mu }_0\gamma )$ est un coefficient de diffusion, en ${\mathrm{m}}^2\cdot {\mathrm{s}}^{-1}$. On rencontre la même équation pour la diffusion de particules (loi de Fick, Partie I : $\partial C/\partial t=D\Delta C$) et pour la diffusion thermique (loi de Fourier : $\partial T/\partial t=\frac{\lambda }{\rho c}\Delta T$).

Q29. Pour $\underline{\overrightarrow{E}}=E_0{\mathrm{e}}^{\mathrm{j}(\omega t-\underline{k}z)}{\overrightarrow{e}}_x$, on a $\Delta \underline{\overrightarrow{E}}=-{\underline{k}}^2\underline{\overrightarrow{E}}$ et $\partial \underline{\overrightarrow{E}}/\partial t=\mathrm{j}\omega \underline{\overrightarrow{E}}$. L'équation de Q27 donne la relation de dispersion

$$\boxed{{\underline{k}}^2=-\mathrm{j}{\mu }_0\gamma \omega }$$