Corrigé CCINP 2026 Physique MP — Partie I.1 (Q1 à Q13) : Champ de pesanteur : pendule, rotation propre, ressort pesant

Q1. a) La distribution de masse de la planète est à symétrie sphérique : le champ gravitationnel est radial et ne dépend que de $r$, $\overrightarrow{\mathcal{G}}=\mathcal{G}(r){\overrightarrow{e}}_r$. Le théorème de Gauss gravitationnel appliqué à une sphère de rayon $r=R_{\mathrm{p}}+z>R_{\mathrm{p}}$ donne

$$4\pi r^2\mathcal{G}(r)=-4\pi G{M}_{\mathrm{p}}⟹{\overrightarrow{F}}_{\mathrm{grav}}=m\overrightarrow{\mathcal{G}}=-\frac{G{M}_{\mathrm{p}}m}{(R_{\mathrm{p}}+z{)}^2}{\overrightarrow{e}}_r.$$

Son intensité vaut, au premier ordre en $z/R_{\mathrm{p}}\ll 1$,

$$F_{\mathrm{grav}}=\frac{G{M}_{\mathrm{p}}m}{R_{\mathrm{p}}^2}(1+\frac{z}{R_{\mathrm{p}}}{)}^{-2}\simeq m{g}_{\mathrm{o}}(1-\frac{2z}{R_{\mathrm{p}}}),\boxed{g_{\mathrm{o}}=\frac{G{M}_{\mathrm{p}}}{R_{\mathrm{p}}^2}}$$

($g_{\mathrm{o}}>0$ : c'est une norme ; le champ vectoriel est $-g_{\mathrm{o}}{\overrightarrow{e}}_r$, dirigé vers le centre).

b) La variation relative par rapport à la valeur au sol est $\left|F_{\mathrm{grav}}-m{g}_{\mathrm{o}}\right|/(m{g}_{\mathrm{o}})=2z/R_{\mathrm{p}}$. Elle reste inférieure à $1\%$ tant que

$$z<z_{\max }=\frac{R_{\mathrm{p}}}{200}=\frac{4000\mathrm{km}}{200}=20\mathrm{km}.$$

Commentaire : toutes les expériences de laboratoire (quelques mètres de dénivelé, soit une variation relative de l'ordre de $10^{-6}$) se font dans un champ de gravitation uniforme à mieux que $1\%$ ; c'est ce qui justifie l'hypothèse « champ constant et uniforme » de la suite.

Q2. Système : la masse $m$ ; référentiel du sol supposé galiléen ; coordonnées polaires de centre $O$ (base ${\overrightarrow{e}}_r$, ${\overrightarrow{e}}_{\theta }$ de la figure 1). Forces : $\overrightarrow{F}=m{\overrightarrow{g}}_{\mathrm{o}}$ et la tension $\overrightarrow{T}=-T{\overrightarrow{e}}_r$ du fil. Le fil étant inextensible, $OM=\ell$ et $\overrightarrow{a}=-\ell {\dot{\theta }}^2{\overrightarrow{e}}_r+\ell \ddot{\theta }{\overrightarrow{e}}_{\theta }$. La projection du principe fondamental de la dynamique sur ${\overrightarrow{e}}_{\theta }$ élimine la tension :

$$m\ell \ddot{\theta }=-m{g}_{\mathrm{o}}\sin \theta ⟹\boxed{\ddot{\theta }+\frac{g_{\mathrm{o}}}{\ell }\sin \theta =0.}$$

Pour de petites oscillations ($\sin \theta \simeq \theta$), c'est un oscillateur harmonique de période $T_{\mathrm{o}}=2\pi \sqrt{\ell /g_{\mathrm{o}}}$ indépendante de l'amplitude. Mesure : on mesure $\ell$ au réglet, on lance le pendule avec une faible amplitude et on chronomètre $N$ oscillations (par exemple $N=20$) pour diluer l'erreur de déclenchement ; alors $T_{\mathrm{o}}=\Delta t/N$ et

$$g_{\mathrm{o}}=\frac{4{\pi }^2\ell }{T_{\mathrm{o}}^2}.$$

Q3. Le référentiel lié au sol tourne uniformément, à la vitesse angulaire $\overrightarrow{\Omega }$, autour de l'axe des pôles, fixe dans le référentiel « planétocentrique » supposé galiléen : ce référentiel n'est pas galiléen. Pour un corps au repos relatif, seule la force d'inertie d'entraînement intervient (la force de Coriolis est nulle) :

$${\overrightarrow{F}}_{ie}=-m{\overrightarrow{a}}_e=-m\overrightarrow{\Omega }\wedge (\overrightarrow{\Omega }\wedge \overrightarrow{HM})=m{\Omega }^2\overrightarrow{HM},$$

où $H$ est le projeté de $M$ sur l'axe. Avec $HM=R_{\mathrm{p}}\cos \lambda$ (figure 2) :

$$\boxed{{\overrightarrow{F}}_{ie}=m{\Omega }^2{R}_{\mathrm{p}}\cos \lambda \overrightarrow{u}.}$$