Corrigé CCINP 2026 Physique MP — Partie I.2 (Q14 à Q21) : Ondes sismiques atténuées et sismomètre (filtre passe-haut)

Sujet officiel du concours CCINP, session 2026, épreuve Physique MP. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Une onde sismique plane $s (z, t)$ se propage selon $(O z)$ et vérifie l'équation de d'Alembert de célérité $c_{s}$ ; en notation complexe $s = S_{o} e^{i (ω t - k z)}$ . Un modèle plus fin ajoute un terme $η \partial s / \partial t$ ( $η > 0$ ) au membre de gauche. Sismomètre (figure 3) : solide de masse $M$ suspendu à un ressort (raideur $k$ , longueur à vide $ℓ_{o}$ ) dans un bâti $R_{b}$ , amortisseur $F = - α v$ ; le bâti a l'accélération $X ¨ (t) e_{x}$ par rapport à la planète, galiléenne ; $u = ℓ - ℓ_{e q}$ .

{Figure 3 — Sismomètre}

En régime forcé, $X = A e^{i ω t}$ et $u = B e^{i (ω t + ϕ)}$ . Le script 1 trace $g$ pour $x \in [0, 3]$ (figure 6), le script 2 le gain en décibels (figure 7).


def g(x, Q):
    return x**2 / np.sqrt((1-x**2)**2 + (x/Q)**2)

Figure 4 — Script 1 (extrait)


# Définition des paramètres du filtre
f0 =   # Fréquence de coupure - VALEUR NUMÉRIQUE NON FOURNIE ICI
Q =   # Facteur de qualité - VALEUR NUMÉRIQUE NON FOURNIE ICI


# Calcul des coefficients du filtre
omega0 = À COMPLÉTER
alpha = À COMPLÉTER

# Définition de la plage de fréquences
frequencies = np.logspace(0, 5, num=1000)

# Calcul du gain en décibel
gain_db = À COMPLÉTER

Figure 5 — Script 2 (extrait)

{Figure 6 — Tracé du script 1 : la fonction g}

{Figure 7 — Tracé du script 2 : le gain en décibels}

Q14. a) Ondes longitudinale et transversale, exemples. b) Sens de $c_{s}$ .
Q15. a) Direction et sens de propagation. b) Relation de dispersion.
Q16. a) Relation entre $ω$ , $k$ , $c_{s}$ , $η$ . b) Pour $ω / c_{s}^{2} ≫ η$ , $k_{r}$ et $k_{i}$ au premier ordre. c) Forme réelle $S_{o} cos (ω t - a z) e^{- z / b}$ . d) Sens de $b$ , allure de la courbe.
Q17. Équation $u ¨ + (Ω_{o} / Q) u ˙ + Ω_{o}^{2} u = - X ¨$ .
Q18. Sens de $A$ , $B$ , $ϕ$ .
Q19. $H (ω) = ∣ u / X ∣$ .
Q20. Compléter les lignes 11, 12 et 18 du script 2.
Q21. a)-b) Asymptotes de $H$ et de $G_{dB}$ . c) Leur intersection. d) Nature et ordre du filtre. e) Pulsation de résonance. f) Valeurs de $Q$ et de $α$ .

Corrigé

Q14. a) Une onde est longitudinale si la grandeur vectorielle qui se propage (déplacement, vibration) est parallèle à la direction de propagation : onde sonore dans l'air, ondes sismiques P (de compression), onde de compression le long d'un ressort. Elle est transversale si cette grandeur est perpendiculaire à la direction de propagation : onde électromagnétique dans le vide (l'exemple canonique), onde sur une corde vibrante, ondes sismiques S (de cisaillement).

b) $c_{s}$ est la célérité de l'onde sismique, c'est-à-dire sa vitesse de propagation dans la roche (quelques $km \cdot s^{- 1}$ ). Ce n'est pas la vitesse de la lumière : l'onde est mécanique.

Q15. a) La phase $ω t - k z$ est constante pour $z = ω t / k + cste$ : l'onde se propage selon $(O z)$ , dans le sens des $z$ croissants (avec $k > 0$ ).

b) Pour la forme complexe, $\partial^{2} / \partial t^{2} \to - ω^{2}$ et $\partial^{2} / \partial z^{2} \to - k^{2}$ . L'équation de d'Alembert devient $- ω^{2} / c_{s}^{2} = - k^{2}$ :

$k^{2} = \frac{ω ^{2}}{c _{s}^{2}}, k = \frac{ω}{c _{s}} (propagation vers les z croissants);$

la relation est linéaire : le milieu est non dispersif.

Q16. a) Le terme supplémentaire donne $η \partial s / \partial t = i ω η s$ , d'où $- ω^{2} / c_{s}^{2} + i η ω = - k^{2}$ :

$k^{2} = \frac{ω ^{2}}{c _{s}^{2}} - i η ω .$

b) On factorise : $k^{2} = \frac{ω ^{2}}{c _{s}^{2}} (1 - i ε)$ avec $ε = \frac{η c _{s}^{2}}{ω} ≪ 1$ (c'est l'hypothèse $ω / c_{s}^{2} ≫ η$ ). Au premier ordre, $(1 - i ε)^{1/2} ≃ 1 - i ε /2$ , et en choisissant la racine telle que $k_{r} > 0$ (onde se propageant vers les $z$ croissants) :

$k = \frac{ω}{c _{s}} (1 - i \frac{η c _{s}^{2}}{2 ω}) ⟹ k_{r} = \frac{ω}{c _{s}}, k_{i} = - \frac{η c _{s}}{2} .$

c) $- i k z = - i k_{r} z + k_{i} z$ , donc $s = S_{o} e^{k_{i} z} e^{i (ω t - k_{r} z)}$ et, en prenant la partie réelle,

$s (z, t) = S_{o} cos (ω t - a z) e^{- z / b}, a = \frac{ω}{c _{s}}, b = - \frac{1}{k _{i}} = \frac{2}{η c _{s}} .$

Ce que le correcteur attend : $b > 0$ ; une onde qui se propage vers les $z$ croissants dans un milieu dissipatif s'atténue dans ce sens (le signe de $k_{i}$ n'est pas arbitraire).

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