Corrigé CCINP 2026 Physique MP — Partie II.2 (Q34 à Q42) : Propagation dans un diélectrique absorbant, Poynting et absorbance

Q34. Pour l'onde plane complexe, $\Delta \underline{\overrightarrow{E}}={\partial }^2\underline{\overrightarrow{E}}/\partial z^2=-k^2\underline{\overrightarrow{E}}$ et ${\partial }^2\underline{\overrightarrow{E}}/\partial t^2=-{\omega }^2\underline{\overrightarrow{E}}$. L'équation de propagation devient $-k^2=-{\epsilon }_r{\omega }^2/c^2$ :

$$\boxed{k^2={\epsilon }_r\frac{{\omega }^2}{c^2}.}$$

Q35. $k^2=(k_1-\mathrm{i}{k}_2{)}^2=k_1^2-k_2^2-2\mathrm{i}{k}_1{k}_2$ et ${\epsilon }_r{\omega }^2/c^2=({\epsilon }_1-\mathrm{i}{\epsilon }_2){\omega }^2/c^2$. L'identification des parties réelles et imaginaires donne

$$\boxed{k_1^2-k_2^2={\epsilon }_1\frac{{\omega }^2}{c^2},2k_1{k}_2={\epsilon }_2\frac{{\omega }^2}{c^2}.}$$

Comme ${\epsilon }_2>0$, $k_1$ et $k_2$ sont de même signe : pour une onde qui se propage vers les $z$ croissants ($k_1>0$), $k_2>0$.

Q36. $-\mathrm{i}kz=-\mathrm{i}{k}_{1}z-k_{2}z$, donc $\underline{\overrightarrow{E}}=E_{\mathrm{o}}{\mathrm{e}}^{-k_{2}z}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}(\omega t-k_{1}z)}{\overrightarrow{e}}_x$ et le champ réel est

$$\boxed{\overrightarrow{E}(z,t)=E_{\mathrm{o}}{\mathrm{e}}^{-k_{2}z}\cos (\omega t-k_{1}z){\overrightarrow{e}}_x.}$$

C'est une onde progressive vers les $z$ croissants, dont l'amplitude décroît exponentiellement (aucune exponentielle complexe ne doit subsister dans un champ réel).

Q37. L'amplitude du champ est divisée par $\mathrm{e}$ chaque fois que l'onde parcourt la distance $\delta =1/k_2$ : $\delta$ est la distance caractéristique d'atténuation (profondeur de pénétration) de l'onde dans le milieu absorbant. Au-delà de quelques $\delta$, l'onde est pratiquement éteinte ; l'énergie, en ${\mathrm{e}}^{-2z/\delta }$, décroît deux fois plus vite.