Corrigé CCINP 2026 Physique MP — Partie III (Q43 à Q51) : Puits infini (butadiène) et indice d'un gaz aux fentes d'Young

Sujet officiel du concours CCINP, session 2026, épreuve Physique MP. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

III.1. Particule quantique de masse $m$ , d'énergie $E > 0$ , confinée sur un segment de longueur $a$ où $V (x) = 0$ ; état stationnaire $Ψ (x, t) = φ (x) e^{- i E t /ℏ}$ , avec $- \frac{ℏ ^{2}}{2 m} φ^{''} + V φ = E φ$ . Application aux électrons délocalisés du buta-1,3-diène $CH X_{2} = CH - CH = CH X_{2}$ (figure 9 ; chaîne de $N = 4$ carbones, distance moyenne $d_{cc}$ ) : $N /2$ niveaux occupés, transition HOMO $\to$ LUMO.

{Figure 9 — Représentation de la molécule but-1,3-diène}

III.2. Montage de la figure 10 : fentes d'Young distantes de $a$ , source ponctuelle $S$ ( $λ = 600 nm$ ) au foyer objet de $(L_{1})$ , écran dans le plan focal image de $(L_{2})$ ; les deux lentilles ont la focale $f_{1}^{'}$ . Devant chaque fente, une cuve ( $C_{1}$ ou $C_{2}$ ) de longueur intérieure $ℓ = 20, 0 cm$ , remplie du gaz de l'atmosphère à la pression atmosphérique ; on vide ensuite $C_{2}$ . Un capteur sur l'axe compte $N = 100$ franges brillantes, l'intensité finale étant maximale.

{Figure 10 — Montage interférentiel}

Q43. Définir un état stationnaire.
Q44. Équation de Schrödinger dépendante du temps.
Q45. Solutions $φ (x)$ sur $] 0, a [$ , avec $κ^{2} = 2 m E / ℏ^{2}$ .
Q46. Conditions aux limites ; énergies $E_{1}$ et $E_{n}$ .
Q47. a) $a$ en fonction de $d_{cc}$ . b) Longueur d'onde $λ$ de la transition. c) Ordre de grandeur pour $d_{cc} ≃ 1 0^{- 10} m$ .
Q48. Intérêt de placer $S$ au foyer objet de $(L_{1})$ .
Q49. Différence de marche en $M (x, y, 0)$ de l'écran.
Q50. Position initiale de la frange d'ordre nul.
Q51. a) Position de la frange d'ordre nul quand $C_{2}$ est vide. b) Indice $n_{gaz}$ : expression et valeur.

Corrigé

Q43. Un état stationnaire est un état d'énergie $E$ bien déterminée, dont la fonction d'onde s'écrit $Ψ (x, t) = φ (x) e^{- i E t /ℏ}$ ; sa densité de probabilité de présence $∣ Ψ (x, t) ∣^{2} = ∣ φ (x) ∣^{2}$ est indépendante du temps, de même que toutes les grandeurs physiques mesurables qui s'en déduisent. La séparation des variables n'est que la forme mathématique de cette propriété.

Q44. Équation de Schrödinger (à une dimension) :

$i ℏ \frac{\partial Ψ}{\partial t} (x, t) = - \frac{ℏ ^{2}}{2 m} \frac{\partial ^{2} Ψ}{\partial x ^{2}} (x, t) + V (x) Ψ (x, t) .$

Elle est du premier ordre en temps (et non du second, comme l'équation de d'Alembert).

Q45. Sur $] 0, a [$ , $V = 0$ : $φ^{''} + κ^{2} φ = 0$ avec $κ = 2 m E /ℏ > 0$ réel (car $E > 0$ ). Solution générale :

$φ (x) = A cos (κ x) + B sin (κ x), (A, B) \in C^{2} .$

Q46. Hors du segment, l'énergie potentielle est infinie (puits infini) : la particule ne peut s'y trouver, $φ = 0$ . La fonction d'onde étant continue, $φ (0) = φ (a) = 0$ .

$φ (0) = A = 0$ ;
$φ (a) = B sin (κa) = 0$ avec $B \neq = 0$ (sinon $φ \equiv 0$ , non normalisable), donc $κa = nπ$ , $n \in N^{*}$ ( $n = 0$ donne la fonction nulle, $n < 0$ redonne les mêmes états).

L'énergie est quantifiée : $E = ℏ^{2} κ^{2} / (2 m)$ donne

$E_{n} = \frac{n ^{2} π ^{2} ℏ ^{2}}{2 m a ^{2}} = \frac{n ^{2} h ^{2}}{8 m a ^{2}}, E_{1} = \frac{π ^{2} ℏ ^{2}}{2 m a ^{2}} = \frac{h ^{2}}{8 m a ^{2}}, E_{n} = n^{2} E_{1} .$

L'énergie de l'état fondamental n'est pas nulle (conséquence de l'inégalité de Heisenberg spatiale).

Q47. a) Les électrons se déplacent du premier au dernier des $N = 4$ carbones, séparés par $N - 1 = 3$ liaisons :

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