Corrigé CCINP 2026 Physique PC — Partie I.1 (Q1 à Q13) : Michelson : mesure interférométrique du déplacement du plan

Sujet officiel du concours CCINP, session 2026, épreuve Physique PC. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Le déplacement $x$ du porte-plan (miroir $M_{2}$ ) par rapport au bâti (miroir $M_{1}$ ) se mesure avec un Michelson (figure 2) : laser He-Ne ( $λ = 633 nm$ ), condenseur rendant le faisceau divergent, écran dans le plan focal image de $(L)$ . Air d'indice $1$ , pas de déphasage aux réflexions. $x$ est compté vers la gauche : $M_{2}$ est à $d_{2} - x$ de la séparatrice.

Figure 2 — L'interféromètre (rayon central seul).

Q1. Lame d'air équivalente (épaisseur $e$ ), rayon d'incidence $i$ : différence de marche à l'infini.
Q2. Pourquoi « égale inclinaison » ? Que voit-on sans condenseur ?
Q3. Pour atteindre le contact optique en translatant $M_{1}$ , faire croître ou décroître le rayon des anneaux ?
Q4. Contact optique pour $x = 0$ : relation entre $d$ , $d_{1}$ et $d_{2}$ .

On incline ensuite $M_{1}$ d'un angle $α$ (coin d'air, figure 3), en incidence quasi normale ; $y$ repère la position depuis l'arête $O$ , la différence de marche vaut $2 e_{0} (y)$ .

Figure 3 — Michelson équivalent réglé en coin d'air.

Q5. Avec $(L^{'})$ de focale $f^{'}$ à la distance $D$ de $M_{2}$ , à quelle distance $D^{'}$ placer l'écran ?
Q6. Forme et nom des franges ; interfrange $i_{e}$ sur l'écran en fonction de $D$ , $D^{'}$ , $α$ , $λ$ .
Q7. $δ (x)$ en un point où elle vaut $δ_{0}$ pour $x = 0$ .
Q8. Formule de Fresnel (deux ondes d'éclairement $E_{0}$ ), puis montrer que

$E = \frac{E _{m a x}}{2} (1 + cos (\frac{4 π x}{λ} + Ψ))$

en exprimant $E_{m a x}$ et $Ψ$ .
Q9. Sensibilité $S = ∣ d E / d x ∣$ ; valeurs de $Ψ$ qui la maximisent près de $x = 0$ .
Q10. Photodiodes en deux $Ψ$ optimaux successifs : montrer, pour $x ≪ λ$ , que

$E_{1} = \frac{E _{m a x}}{2} (1 - \frac{4 π x}{λ}), E_{2} = \frac{E _{m a x}}{2} (1 + \frac{4 π x}{λ}) .$

En court-circuit, une photodiode débite $I_{cc} = β E$ (montage de la figure 4, ALI idéal).

Figure 4 — Convertisseur courant/tension.

Q11. Justifier le régime linéaire de l'ALI, puis que la photodiode est en court-circuit.
Q12. Tension $U_{s}$ en fonction de $β$ , $R_{1}$ , $E$ .
Q13. $U_{o pt} = K \frac{U _{2} - U _{1}}{U _{1} + U _{2}}$ , $K = 10 V$ ( $U_{i}$ associée à $E_{i}$ ) : l'exprimer ; plus petit $x$ détectable si $U_{o pt, m i n} = 2 \times 1 0^{- 4} V$ ?

Corrigé

Q1. Schéma équivalent. Soit $M_{1}^{'}$ l'image de $M_{1}$ par le miroir de renvoi puis par la séparatrice. Vu de la sortie, tout se passe comme si la lumière se réfléchissait sur deux miroirs $M_{2}$ et $M_{1}^{'}$ parallèles (réglage en lame d'air), séparés de l'épaisseur $e$ égale à la différence des longueurs des deux bras. Un rayon issu d'un point de la source étendue (après le condenseur) arrive sous l'incidence $i$ ; il donne deux rayons émergents parallèles, l'un réfléchi en $I$ sur le premier miroir, l'autre réfléchi en $J$ sur le second puis ressortant en $K$ .

Différence de marche. Les deux rayons émergents, parallèles, interfèrent à l'infini. D'après le théorème de Malus, les plans perpendiculaires aux rayons sont des surfaces d'onde ; par retour inverse de la lumière, les chemins optiques de $H$ et de $K$ jusqu'au point d'observation à l'infini sont égaux. La différence de marche vaut donc (air, $n = 1$ ) :

$δ = (I J + J K) - I H = \frac{2 e}{cos i} - I K sin i = \frac{2 e}{cos i} - 2 e tan i sin i = \frac{2 e ( 1 - sin ^{2} i )}{cos i}, δ = 2 e cos i .$

Ce que le correcteur attend : le schéma de la lame d'air avec source et observation à l'infini, et la mention de Malus et du retour inverse : c'est ce qui justifie la soustraction de $I H$ .

Q2. La différence de marche $2 e cos i$ ne dépend que de l'inclinaison $i$ du rayon, pas de son point d'entrée : tous les rayons de même inclinaison convergent dans le plan focal image de $(L)$ en des points situés à la même distance $f tan i$ du foyer, avec le même éclairement. Une frange est le lieu des rayons de même inclinaison, d'où « égale inclinaison » ; par symétrie de révolution autour de l'axe, ce sont des anneaux centrés sur le foyer.

Sans condenseur, le faisceau laser est parallèle : une seule incidence, $i = 0$ . Tous les rayons convergent au foyer image : on observe une petite tache lumineuse, d'éclairement fixé par $δ = 2 e$ (brillante ou sombre selon $2 e / λ$ ), et non des anneaux.

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