Corrigé CCINP 2026 Physique PC — Partie I.2 (Q14 à Q21) : Oscillateur mécanique forcé : réponse du cantilever, résonance, raideur

Dans le dSFA (figure 1), la sphère et le plan sont portés par des structures (porte-sphère, porte-plan) suspendues au bâti par des cantilevers (bilames déformables) $L_1$ et $L_2$. Une céramique piézoélectrique fait osciller la sphère à la pulsation $\omega$ ; le liquide confiné exerce alors sur le plan une force $\overrightarrow{F}$ normale au plan.

Figure 1 — Principe du dSFA (schéma simplifié).

On assimile plan et porte-plan à un solide de masse $m$, en translation selon $\overrightarrow{u_x}$ (vers la gauche), d'écart $x$ à l'équilibre et de vitesse $\overrightarrow{v}$, dans le référentiel du bâti, galiléen. Le cantilever $L_2$ est modélisé par une force de rappel $\overrightarrow{F_r}=-kx\overrightarrow{u_x}$ et une force $\overrightarrow{f_v}=-\mu \overrightarrow{v}$ (figure 5). En régime sinusoïdal forcé : $F(t)=F_1\cos (\omega t+\psi )$ et $x(t)=x_1\cos (\omega t+\phi )$.

Figure 5 — Modèle du système plan/porte-plan.

Q14. Origine physique de $\overrightarrow{F_r}$ et $\overrightarrow{f_v}$ ?
Q15. Signaux complexes $\underline{F}(t)$, $\underline{x}(t)$ (avec $j^2=-1$) ; amplitudes complexes $\underline{F_1}$, $\underline{x_1}$.
Q16. Montrer que

$$\underline{H_m}=\frac{k\underline{x_1}}{\underline{F_1}}=\frac{1}{1+j\frac{\omega }{Q{\omega }_0}-\frac{{\omega }^2}{{\omega }_0^2}},$$

exprimer ${\omega }_0$ et $Q$ en fonction de $m$, $k$, $\mu$ et donner leur sens physique.
Q17. $\left|\underline{H_m}\right|$ en fonction de $\xi =\omega /{\omega }_0$.
Q18. Condition sur $Q$ pour une résonance, pulsation ${\omega }_r$ ; quand a-t-on ${\omega }_r\simeq {\omega }_0$ ?

Une bobine agissant sur un aimant du porte-plan impose une force d'amplitude constante à toute fréquence ; on relève $\left|\underline{H_m}\right|$ (figure 6).

Figure 6 — Module de la fonction de transfert mécanique en fonction de la fréquence d'excitation.

Q19. En déduire ${\omega }_0$ et $Q$.

Méthode de Cleveland : on leste le porte-plan de masses $m_a$ (masse totale $m+m_a$) et l'on mesure ${\omega }_0$ pour chaque $m_a$ (figure 7).

Figure 7 — Détermination de la constante de raideur.

Q20. En déduire $k$. Quelle autre grandeur ce graphe fournit-il ?
Q21. Pour $x_1=2\mathrm{nm}$ à $40\mathrm{Hz}$, l'appareil annonce $F_1=2\mu \mathrm{N}$ : valeur de $k$ implémentée ? Commenter.