Corrigé CCINP 2026 Physique PC — Partie II.1 (Q22 à Q29) : Capteur capacitif : condensateur plan et circuit LC

Sujet officiel du concours CCINP, session 2026, épreuve Physique PC. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Le déplacement relatif sphère/plan est suivi par un condensateur plan dont l'écartement varie comme la distance sphère/plan : deux disques parallèles de rayon $R = 3 cm$ , distants de $ℓ$ très proche de $50 μ m$ (figure 8). L'armature de centre $O$ (solidaire de la sphère, référentiel supposé galiléen) porte la charge $+ Q$ au potentiel $V_{O}$ ; celle de centre $A$ (solidaire du plan) porte $- Q$ au potentiel $V_{A}$ ; charges uniformément réparties, $U = V_{O} - V_{A}$ . Coordonnées cylindriques $(r, θ, x)$ d'axe $(O x)$ , base locale $(u_{r}, u_{θ}, u_{x})$ . On raisonne en électrostatique.

Figure 8 — Schéma du condensateur.

Q22. Pourquoi peut-on supposer les armatures infinies ? Direction de $E$ et variable dont il dépend (symétries et invariances).
Q23. Par une équation de Maxwell, montrer que $E$ est uniforme entre les armatures.
Q24. Par une autre équation de Maxwell, établir le lien entre $V$ et $E$ ; en déduire $E$ en fonction de $U$ , $ℓ$ et d'un vecteur unitaire.
Q25. Avec $u_{e} = ε_{0} E^{2} /2$ , énergie $E_{e}$ stockée entre les armatures en fonction de $ε_{0}$ , $U$ , $ℓ$ , $R$ .
Q26. Énergie d'un condensateur en fonction de $C$ et $U$ (sans démonstration) ; en déduire $C$ .

Le condensateur est branché en parallèle sur une bobine d'inductance $L$ (figure 9).

Figure 9 — Circuit $L C$ oscillant.

Q27. Équation différentielle vérifiée par $u_{c}$ ; fréquence $f_{L C}$ des oscillations.
Q28. Montrer que la mesure de $f_{L C}$ donne $ℓ = 4 π^{3} ε_{0} R^{2} L f_{L C}^{2}$ .
Q29. Exprimer $d ℓ$ en fonction de $d f$ . Avec $f_{L C}$ de l'ordre de $10 MHz$ , $L = 2 μ H$ , $ε_{0} = 9 \times 1 0^{- 12} F \cdot m^{- 1}$ et une résolution en fréquence de $0, 2 Hz$ : plus petit déplacement relatif détectable ?

Corrigé

Q22. Armatures infinies. L'écartement $ℓ ≃ 50 μ m$ est très petit devant le rayon $R = 3 cm$ ( $ℓ / R \sim 2 \times 1 0^{- 3}$ ) : en un point situé entre les armatures, loin des bords (à une distance grande devant $ℓ$ ), les charges se comportent comme deux plans infinis. On néglige ainsi les effets de bord.

Direction. La distribution de charges (deux plans uniformément chargés, perpendiculaires à $u_{x}$ ) admet comme plans de symétrie tous les plans contenant le point $M$ et perpendiculaires aux armatures, par exemple les plans $(M, u_{r}, u_{x})$ et $(M, u_{θ}, u_{x})$ . Le champ électrique, vecteur polaire, appartient à tout plan de symétrie de ses sources passant par $M$ , donc à leur intersection : $E (M) = E u_{x}$ .

Invariances. La distribution de charges infinie est invariante par toute translation parallèle aux armatures, donc en particulier par rotation d'angle $θ$ autour de $(O x)$ et par variation de $r$ : $E$ ne dépend ni de $θ$ ni de $r$ . Il reste $E = E (x) u_{x}$ .

Ce que le correcteur attend : les symétries et invariances se lisent sur la cause (la distribution de charges), puis se transportent sur le champ.

Q23. Entre les armatures, le milieu (l'air, assimilé au vide) ne porte pas de charge : $ρ = 0$ . L'équation de Maxwell-Gauss donne

$div E = \frac{ρ}{ε _{0}} = 0 ⟹ \frac{d E}{d x} = 0,$

puisque $E = E (x) u_{x}$ (formulaire : seule la dérivée $\partial E_{x} / \partial x$ subsiste). $E$ est donc indépendant de $x$ : combiné à Q22, le champ est uniforme à l'intérieur du condensateur. C'est la forme particulière du champ, établie à Q22, qui permet cette conclusion : $div E = 0$ seul n'implique pas l'uniformité.

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