Corrigé CCINP 2026 Physique PC — Partie II.2 (Q30 à Q42) : Écoulement de lubrification de l'air entre les armatures

Q30. Système : la tranche fixe de fluide comprise entre les abscisses $x$ et $x+\mathrm{d}x$, de section $S$, pour un écoulement $\overrightarrow{v}=v(x,t)\overrightarrow{u_x}$ et $\rho (x,t)$. Bilan de masse entre $t$ et $t+\mathrm{d}t$ : la variation de la masse contenue est égale à la masse entrée en $x$ moins la masse sortie en $x+\mathrm{d}x$ (pas de source de masse) :

$$[\rho (x,t+\mathrm{d}t)-\rho (x,t)]S\mathrm{d}x=[\rho v(x,t)-\rho v(x+\mathrm{d}x,t)]S\mathrm{d}t.$$

En développant au premier ordre, $\frac{\partial \rho }{\partial t}\mathrm{d}tS\mathrm{d}x=-\frac{\partial (\rho v)}{\partial x}\mathrm{d}xS\mathrm{d}t$, d'où

$$\boxed{\frac{\partial \rho }{\partial t}+\frac{\partial (\rho v)}{\partial x}=0}.$$

Le premier terme est le terme de variation temporelle, le second le terme d'échange (flux de masse $\rho v$).

Q31. La dérivée particulaire de la masse volumique (dérivée en suivant une particule de fluide dans son mouvement) s'écrit

$$\frac{\mathrm{D}\rho }{\mathrm{D}t}=\frac{\partial \rho }{\partial t}+(\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{\mathrm{grad}})\rho =\frac{\partial \rho }{\partial t}+\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{\mathrm{grad}}\rho .$$

Avec la formule du formulaire, $\mathrm{div}(\rho \overrightarrow{v})=\rho \mathrm{div}\overrightarrow{v}+\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{\mathrm{grad}}\rho$, l'équation de conservation devient

$$\frac{\mathrm{D}\rho }{\mathrm{D}t}+\rho \mathrm{div}\overrightarrow{v}=0.$$

Un écoulement est incompressible si la masse volumique de chaque particule de fluide reste constante au cours de son mouvement : $\frac{\mathrm{D}\rho }{\mathrm{D}t}=0$. Comme $\rho \ne 0$, cela équivaut à $\boxed{\mathrm{div}\overrightarrow{v}=0}$.

Q32. Soit $\Sigma$ une surface fermée fixe, orientée vers l'extérieur, délimitant le volume $\mathcal{V}$. D'après le théorème d'Ostrogradski et Q31 :

$$D_V=\oint {\oint }_{\Sigma }\overrightarrow{v}\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{S}={\iiint }_{\mathcal{V}}\mathrm{div}\overrightarrow{v}\mathrm{d}\tau =0.$$

Autant de volume de fluide entre dans $\mathcal{V}$ qu'il en sort, à chaque instant.

Q33. Les parois sont imperméables : sur chaque armature, la composante normale de la vitesse du fluide est égale à celle de la paroi. Dans le référentiel de l'armature $O$, celle-ci est immobile et l'armature $A$, en $x=\ell (t)$, se déplace à la vitesse $\dot{\ell }\overrightarrow{u_x}$ :

$$\boxed{v_x(r,0,t)=0},\boxed{v_x(r,\ell ,t)=\dot{\ell }(t)=-{\ell }_1\omega \sin (\omega t)}.$$

Ce que le correcteur attend : la vitesse normale n'est pas nulle sur la paroi mobile.

Q34. Appliquons Q32 à la surface fermée qui coïncide, à l'instant $t$, avec le cylindre d'axe $(Ox)$, de rayon $r$, limité par les deux armatures ($0\le x\le \ell$) ; elle est fixe (on la choisit égale à la position des parois à cet instant) et l'air y est incompressible.

• Disque $x=0$ (normale sortante $-\overrightarrow{u_x}$) : flux $-\iint v_x(r^{\prime },0,t)\mathrm{d}S=0$.
• Disque $x=\ell$ (normale sortante $+\overrightarrow{u_x}$) : flux $\iint v_x(r^{\prime },\ell ,t)\mathrm{d}S=\pi r^2\dot{\ell }$.
• Surface latérale (normale sortante $\overrightarrow{u_r}$, aire $2\pi r\ell$) : flux $\iint v_r\mathrm{d}S=2\pi r\ell u(r,t)$, par définition de la moyenne $u$.

Le débit total est nul : $\pi r^2\dot{\ell }+2\pi r\ell u=0$, soit $u=-\frac{r\dot{\ell }}{2\ell }$. Comme $\ell ={\ell }_0+{\ell }_1\cos \omega t$ avec ${\ell }_1\ll {\ell }_0$ :

$$\boxed{u(r,t)\simeq -\frac{r\dot{\ell }(t)}{2{\ell }_0}}.$$

Quand les armatures s'écartent ($\dot{\ell }>0$), l'air est aspiré vers l'intérieur ($u<0$), et réciproquement.