Corrigé CCINP 2026 Physique PC — Partie III (Q43 à Q45) : Nanorhéologie : force de Reynolds, impédance hydrodynamique, glissement

Sujet officiel du concours CCINP, session 2026, épreuve Physique PC. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Une sphère de rayon $R_{0}$ oscille face au plan (figure 11) : $h (t) = h_{0} - h_{1} (t) = h_{0} - h_{1} cos (ω t)$ . Un liquide de viscosité $η$ baigne entièrement sphère et plan (tension superficielle négligée). La force exercée sur le plan est $F = F (t) u_{x} = F_{1} cos (ω t + ψ) u_{x}$ . En notation complexe, l'impédance hydrodynamique est $Z = F_{1} / h_{1} = Z^{'} + j Z^{''}$ . Une modélisation analogue à celle de la partie II.2 donne la force de Reynolds :

$F = - \frac{6 π η R _{0}^{2}}{h _{0}} h ˙ u_{x} .$

Figure 11 — Force exercée sur le plan par l'écoulement du fluide.

Q43. Impédance hydrodynamique dans le modèle de Reynolds ; identifier $Z^{'}$ et $Z^{''}$ .

Mesures avec du glycérol entre surfaces de Pyrex : excitation à $39 Hz$ , $R_{0} = 1, 3 mm$ . Figure 12 : $Z^{'}$ (gris) et $Z^{''}$ (noir) en fonction de $h_{0}$ ; figure 13 : $1/ Z^{''}$ (noir) et force statique, mesurée sans oscillation (gris).

Figure 12 — $Z^{'}$ (gris) et $Z^{''}$ (noir) en fonction de $h_{0}$ (glycérol/Pyrex).

Figure 13 — $1/ Z^{''}$ (noir) et force statique (gris) en fonction de $h_{0}$ (glycérol/Pyrex).

Q44. Domaine de validité du modèle de Reynolds pour ce système ; interprétation de l'écart là où il échoue.

Avec de l'eau, on mesure $1/ Z^{''}$ sur un plan de Pyrex mouillant (noir) et de Pyrex silanisé, non mouillant (gris), figure 14. On interprète l'écart par un glissement de l'eau sur le plan : tout se passe comme si la surface de vitesse nulle était reportée à l'intérieur du plan, à la distance $b$ , longueur de glissement (figure 15).

Figure 14 — $1/ Z^{''}$ pour l'eau : plan de Pyrex (noir), plan de Pyrex silanisé (gris).

Figure 15 — Longueur de glissement.

Q45. Déterminer $b$ pour l'eau sur le Pyrex silanisé. Pourquoi $b$ compte-t-il en nanorhéologie, et non pour un écoulement macroscopique ?

Corrigé

Q43. Avec $h_{1} (t) = h_{1} cos (ω t)$ , de signal complexe $h_{1} (t) = h_{1} e^{j ω t}$ , et $h (t) = h_{0} - h_{1} (t)$ , on a $h ˙ = - h ˙_{1}$ . La force de Reynolds devient

$F (t) = - \frac{6 π η R _{0}^{2}}{h _{0}} h ˙ = + \frac{6 π η R _{0}^{2}}{h _{0}} h ˙_{1} ⟹ F_{1} = j ω \frac{6 π η R _{0}^{2}}{h _{0}} h_{1},$

d'où

$Z = \frac{F _{1}}{h _{1}} = j \frac{6 π η R _{0}^{2} ω}{h _{0}}, Z^{'} = 0, Z^{''} = \frac{6 π η R _{0}^{2} ω}{h _{0}} .$

Signe : quand la sphère s'approche ( $h ˙ < 0$ ), le liquide chassé du film est en surpression et repousse le plan loin de la sphère, selon $+ u_{x}$ (figure 11) : $F > 0$ , cohérent avec l'expression. L'impédance est purement imaginaire : la force est en quadrature avance sur le déplacement, en phase avec la vitesse ; c'est une force purement dissipative (visqueuse), sans composante élastique. Le modèle prédit en outre $1/ Z^{''} = h_{0} / (6 π η R_{0}^{2} ω)$ : une droite passant par l'origine en fonction de $h_{0}$ .

Q44. Lecture des figures. Sur la figure 12, $Z^{''}$ décroît comme $1/ h_{0}$ et $Z^{'}$ reste quasi nul ( $Z^{'} ≪ Z^{''}$ ) ; sur la figure 13, $1/ Z^{''}$ est une droite passant par l'origine sur presque tout le domaine exploré, et la force statique est nulle tant que les surfaces ne sont pas au contact. Ce sont exactement les prédictions de Q43 : le modèle de Reynolds (liquide newtonien, continu, non-glissement aux parois) est validé de $h_{0} \approx 800 nm$ jusqu'à $h_{0}$ de l'ordre de $10 nm$ ; il est mis en défaut quand $h_{0} \to 0$ .

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