Corrigé CCINP 2026 Sciences industrielles PSI — Partie III.1 (Q5 à Q14) : Motorisation du convoyeur : grandeurs ramenées et TEC

Sujet officiel du concours CCINP, session 2026, épreuve Sciences industrielles PSI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Exigence 2 (figure 7) : le système doit pouvoir évacuer un flux maximal $Q_{d} = 24 kg \cdot s^{- 1}$ (2.1) et une capacité nominale de 50 tonnes par jour (2.2).

Un moteur à courant continu et un réducteur entraînent, par un rouleau moteur, une chaîne liée à un tapis métallique qui remonte les déchets sur un support de guidage (0) incliné de $α = 3 0^{\circ}$ (figure 9). Le support (0), lié au bateau, est fixe ; son référentiel est galiléen.

Figure 9 — Paramétrage du convoyeur ( $h$ : dénivelé entre les axes des deux rouleaux).

Données : $ω_{m}$ et $C_{m}$ , vitesse et couple du moteur ; $ω_{r}$ , vitesse de la poulie motrice ; $g = - g z_{0}$ , $g = 10 m \cdot s^{- 2}$ ; inertie de l'ensemble à vide ramenée à l'arbre moteur $J_{e} = 4 \times 1 0^{- 2} kg \cdot m^{2}$ ; rapport de réduction $k = ω_{r} / ω_{m} = - 1/10$ ; rayon du rouleau moteur $R_{m} = 0, 1 m$ ; masse maximale de déchets sur le convoyeur $M_{D} = 100 kg$ .

Q5. Exprimer la vitesse minimale $V_{l im}$ de la chaîne vérifiant l'exigence 2.1. (On prend ensuite $V_{l im} = 1 m \cdot s^{- 1}$ .)
Q6. Exprimer et calculer $ω_{m}$ correspondante.
Q7. Mettre $E_{c} (D /0)$ des déchets sous la forme $\frac{1}{2} J_{D} ω_{m}^{2}$ .
Q8. Donner la puissance de l'action du moteur.
Q9. Justifier que la puissance de la pesanteur sur le système à vide est nulle.
Q10. Calculer la puissance de la pesanteur sur les déchets en fonction de $V_{l im}$ et $M_{D}$ .

Le frottement tapis/support suit la loi de Coulomb, $f = 0, 2$ ; l'action du support sur le tapis a une composante normale $F_{N}$ et tangentielle $F_{T}$ . La masse du tapis est négligée devant celle des déchets ; l'action de la chaîne sur le tapis est selon $y_{c}$ .

Q11. Tracer $F_{T}$ à l'échelle sur le schéma du DR ; déterminer $F_{N}$ ; en déduire la puissance du frottement support/tapis.
Q12. Écrire la puissance du frottement et de la pesanteur sous la forme $C_{R e q} ω_{m}$ ; exprimer $C_{R e q}$ .
Q13. Établir l'équation du mouvement liant $C_{m}$ , $C_{R e q}$ , $d ω_{m} / d t$ , $J_{e}$ et $J_{D}$ .

On donne $J_{D} = 1 \times 1 0^{- 2} kg \cdot m^{2}$ et $C_{R e q} = - 6, 7 N \cdot m$ ; le moteur retenu a un couple de démarrage de $15 N \cdot m$ et un couple nominal de $10 N \cdot m$ .

Q14. Le moteur convient-il au démarrage (vitesse maximale atteinte en 5 s, accélération uniforme) et en régime permanent ?

Corrigé

Q5. Les déchets sont répartis sur la partie utile du tapis, entre les axes des deux rouleaux, de longueur

$L_{c} = \frac{h}{sin α} = \frac{2}{0 , 5} = 4 m .$

Avec la masse maximale $M_{D}$ répartie uniformément, la masse linéique de déchets vaut $λ = M_{D} / L_{c}$ . Pendant $d t$ , la chaîne avance de $V d t$ et évacue la masse $λV d t$ : le débit massique évacué est $Q = λV$ . L'exigence 2.1 impose $λV \geq Q_{d}$ , donc

$V_{l im} = \frac{Q _{d}}{λ} = \frac{Q _{d} h}{M _{D} sin α} = \frac{24 \times 2}{100 \times 0 , 5} = 0, 96 m \cdot s^{- 1} .$

Homogénéité : $kg \cdot s^{- 1} \cdot m/kg = m \cdot s^{- 1}$ . D'où la valeur arrondie $V_{l im} = 1 m \cdot s^{- 1}$ retenue par l'énoncé, qui vérifie l'exigence avec une petite marge.

Q6. Le brin supérieur de la chaîne ne glisse pas sur le rouleau moteur : sa vitesse est celle d'un point de la périphérie du rouleau, $∣ V ∣ = R_{m} ∣ ω_{r} ∣$ . Avec le paramétrage adopté (chaîne montant selon $+ y_{c}$ et $k < 0$ ), $V = - R_{m} ω_{r} = - k R_{m} ω_{m}$ , d'où

$ω_{m} = - \frac{V _{l im}}{k R _{m}} = \frac{10 V _{l im}}{R _{m}} = \frac{10 \times 1}{0 , 1} = 100 rad \cdot s^{- 1} (\approx 955 tr \cdot mi n^{- 1}) .$

Ce que le correcteur attend : ne pas oublier le réducteur, et gérer le signe : $k$ est négatif, mais la vitesse du moteur doit sortir positive pour une chaîne qui monte. On notera $K_{R} = - k R_{m} = R_{m} /10 = 0, 01 m$ , de sorte que $V = K_{R} ω_{m}$ (c'est le gain $K_{R}$ de la partie III.2).

Q7. Les déchets (D) sont immobiles sur le tapis, en translation rectiligne par rapport à (0) à la vitesse $V y_{c}$ . L'énergie cinétique d'un solide en translation se réduit à

$E_{c} (D /0) = \frac{1}{2} M_{D} V^{2} = \frac{1}{2} M_{D} (k R_{m})^{2} ω_{m}^{2} = \frac{1}{2} J_{D} ω_{m}^{2}, J_{D} = M_{D} k^{2} R_{m}^{2} .$

A.N. : $J_{D} = 100 \times 1 0^{- 2} \times 1 0^{- 2} = 1 \times 1 0^{- 2} kg \cdot m^{2}$ (valeur confirmée par l'énoncé après Q13). Une masse vue à travers le réducteur et le rouleau est ramenée à l'arbre moteur avec le carré du rapport de transmission $(k R_{m})^{2}$ .

Q8. Le moteur exerce, du stator (lié à 0) sur le rotor en rotation à $ω_{m}$ autour de son axe, un couple $C_{m}$ . Le stator étant fixe, la puissance de cette action (intérieure à l'ensemble moteur + (0), ou extérieure au mécanisme mobile) est

$P (stator \to rotor /0) = C_{m} (t) ω_{m} (t) .$

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